On peut encore traiter la question en introdui

sant les résistances des points fixes. Si les points O et H devenaient libres, on rétablirait réquilibre en appliquant en ces points des forces convenables Ri et Rg. Soit OE = h. Appelons Xj, Yj, Zj, X,, Yj, Z^ les composantes parallèles aux axes des forces Rj et R2. Les équations d'équilibre seront alors

X+X, ^;-X2=0, y H- Y, -rY2=^-0,

La dernière équation est la seule condition d'équilibre déjà trouvée. Quanl aux cinq autres, elles feront connaître les résistances des points O et H ou les pressions qu'ils supportent. On en tire

Ces équations déterminent Xj, Xg, Y, etlg, mais elles ne donnent que la somme Zi -f- Z2 des composantes parallèles à l'axe des rr, ce qui doit être ; car, s'il y a équilibre, les deux forces Zi et Zg qui agissent suivant la même droite, peuvent être appliquées au même point O, et l'on peut partager leur somme en deux parties quelconques appliquées aux points O et H.

ÉQUILIBRE d'un COUPS QUI REPOSE SUR UN PLAN FIXE.

377. Supposons un corps pressé contre un plan en un de ses points par une force, passant par ce point et normale au plan; ce corps sera en équilibre, car il n'y a pas de raison pour qu'il se meuve dans une direction plutôt que dans une autre.

VINGT-NEUVIÈME LEÇON. sS

Si la force, au lieu d'être normale au pîau, lui était oblique, on pourrait la décomposer en deux autres, Tune normale et l'autre située dans le plan. La première ne ferait qu'appuyer le corps sur le plan et la seconde aurait tout son effet pour le déplacer. Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour V équilihi^e est que la force qui passe par le point de contact soit normale au plan. La même conséquence s'appliquerait au plan tangent, si le corps était pressé contre une surface courbe par une force qui passerait par le point de contact.

378. Supposons maintenant qu'un corps M, sollicité par plusieurs forces P, P', P'', . . . , repose par un de ses

Fig. ,26. points A sur un plan IL ou sur

une surface dont IL serait le plan langent au point A. Concevons qu'il y ait équilibre. Si l'on ôtait le plan, le point A se mouvrait dans une certaine direclion, et en appliquant suivant cette direction une force déterminée, on rétablirait l'équilibre. Cette force peut donc remplacer la résistance du plan, et elle doit être égale, puisqu'il y a équilibre, à la résultante des forces P, P', P", .... Donc il faut cfue celles-ci aient une résultante unique, normale au plan et passant par le point d'appui.

379. On est conduit à une conséquence analogue, quand le corps M repose par différents points A, B, C,...

sur plusieurs plans ou surfaces fixes, comme par exemple une table supportée par trois pieds. Si l'on ôtait le plan p, l'équilibre serait en général détruit, mais on le rétablirait en appliquant au point A une force convenable dans la direction que ce point prendrait immé-

Fig. 127.

diatement. Cette force peut donc remplacer la résistance du plan p ; de même deux autres forces appliquées aux points B et C peuvent tenir lieu des résistances des plans p et p .Si l'on joint ces deux dernières aux forces données P, P', P". . . et qu'on regarde le corps M comme appuyé seulement sur le plan p par le point A, la i^ésultante de toutes les forces passe par le point A et est normale au plan p ; par conséquent la résistance de ce plan lui est elle-même normale. Le même raisonnement s'applique aux résistances des plans p' et p".

380. Voyons ce que deviennent les équations d'équilibre dans le cas d'un corps pressé contre un plan xOy ou l?in^, ,28. contre une surface dont ^Oj^ se-

rait le plan tangent au point O.

Prenons ce plan pour celui des xy et le point O pour origine. La résistance du plan équivalant à une force normale Zj, nous aurons d'abord

X=o, r=r o, Z-i-Zi = o;

et comme Zj n'introduit évidemment aucun terme dans les équations des moments, on aura

Ces trois équations expriment que le système des forces se réduit à une force unique, et les deux premièi^es que cette force unique est normale au plan et passe par le point O. Quant à l'équation Z -|- Zj = o, elle indique que la résultante est la pression supportée par le plan. Il faut, en outre, qne la résultante appuie le corps sur le plan, c'est-à-dire qu'elle soit négative. On devra donc joindre aux cinq équations d'équilibre l'inégalité

381. Imaginons maintenant que le corps repose sur le plan xOj par deux points O et H. Prenons OH pour Fig. 129. axe des x. Remplaçons la lésis-

tance du plan fixe par deux forces normales Zj, Z^. Puisqu'il y a équilibre, la résultante Zi -{- Zg de ces deux forces, laquelle a son point d'application entre OetH, doit être égale et contraire à la résultante de toutes les forces données. Il faut donc que celle-ci soit normale au plan et c[u'elle ait son point d'application entre O et H.

En posant OH z= A, les six équations d'équilibre

donnent

X=o, Yz=o, Z -T Zi -4- Z2 = o,

Quatre de ces équations expriment les conditions que doivent remplir les forces données; les deux autres font connaître les inconnues et donnent