m\\dqil \dq

Cherchons une intégrale renfermant une arbitraire et de la forme

il suffit d'avoir, en désignant par a une constante,

De simples quadratures font connaître y (^i ) et 9(^2), et l'on trouve

Si= - m\/'2.g[qi-h «)- + q^,sj-2.m[\ — mgv.).

Les intégrales du mouvement, représentées en général par les équations (9) et (10), seront ici

\jiiii[k— nigu.)

m\/'2g{qi-hu]=pi, \JQ.m[l — mgcA)=p^.

La première fait connaître la trajectoire, la deuxième la loi du mouvement, et les deux autres donnent les composantes de la vitesse; les constantes a, |3, e et X se déduisent des circonstances initiales. On peut vérifier que la valeur (7 bis) de H se réduit à — X, ce qui permet d'avoir directement la valeur de cette constante.

Mouvemenc d' lui point attiré vers deux centres fixes.

Soit à déterminer le mouvement d'un point M attiré vers deux centres fixes F, F, avec des intensités qui varient en raison inverse de la distance ; on suppose la vitesse initiale dirigée dans le plan qui passe par FFj et par la position initiale A du point M.

Le mobile ne sortira pas du plan AFFj, et sa position serait déterminée à chaque instant par deux coordonnées rectangulaires x, j^ l'axe des x étant dirigé suivant FF, et l'axe des j'' étant la perpendiculaire au milieu de FF,.

Mais on pourra bien plus facilement trouver les intégrales du problème en définissant la position du point M par les longueurs q ei q^ des demi-axes focaux de l'ellipse etde l'hyperbole qui ont pour foyers F et F, et qui passent en M; ces deux coniques, on le sait, se coupent • ortliogonalement, et, si l'on pose FF, = ic, on a entre les coordonnées x, y d'une part et q, q^ de l'autre les relations

q- q^ d'où l'on déduit

q- q; , { T — rr\\r^ — n \

( I ) ds'''= dx"' 4- rfj2 = ^^i ^, dq"- + \ ^ dq \ .

^ ' q-—C- C^—qi

En prenant la masse de M égale à l'unité, on a, pour la demi-force vive et ses dérivées,

T=^''r'iq'^-^-':-'iq^,

1 q- — c 2 c- — îi

dp'

q' — ql „, àj 7' — -71

4lO NOTE IV.

on tire des deux dernières équations q' et q\ , et on les substitue dans la valeur de T, qui devient

Soient f/, [Xi les attractions de F et de F^ à l'unité de distance, /', i\ les longueurs MF, MF, ; le travail correspondant à un déplacement virtuel du point M sera

le second membre est une différentielle exacte, et, en intégrant, on aura la fonction des forces

r Ti

Les propriétésfondamentalesdesrayons vecteursdonnent

r+}-i=oq^ r—ri = q= 2^1, d'où ,

On a supposé que F était sur la partie positive de l'axe des X, Ff sur la" partie négative ; dans ce cas, si Vx du point M est positif, on prendra les signes supérieurs, et, s'il est négatif, les signes inférieurs; mais on peut toujours conserveries signes supérieurs en convenant que, quand l'abscisse sera négative, on prendra aussi pour q^ une valeurnégative, de sorte que cette coordonnée pourra varier entre — c et H- c'. Cela posé, nous avons les deux parties de la fonction d'Hamilton

î — '71 î + ?i "^ l' — ^ïl 1 c^-q\

\dqj / dS

2 ?"— '7i V^îl

ou, en chassant les dénominateurs,

asy- , „ .. f dS

Nous n'avons pas besoin d'écrire les quatre équations canoniques, mais nous chercherons leurs intégrales à l'aide du théorème de Jacobi; l'équation aux dérivées partielles qu'il faut considérer est

X=ro

Nous allons encore chercher une intégrale renfermant une constante et de la forme S( = /"(^j-f- cd(^<) ; il suffit d'avoir

Les fonctionsyet y sont données par de simples quadratures au moyen d'intégrales elliptiques, et l'intégrale complète Si peut s'écrire

si '.l'y. -f- ■î[u. — y-i )7i -

--"'"'^dq

Sic— qi

L'époque à laquelle le mobile arrive à une position déterminée est donnée par la formule

r/Si dh

L'équation delà trajectoire, -r-i = (3, se formera en pre-

4 1 2 ■ KOTE IV.

nant par rapport à a la dérivée des quantités placées sous les signes/ dans la valeur de Si; mais, pour étudier la trajectoire, il vaut mieux prendre les différentielles des deux membres de l'équation obtenue, ce qui donne, en mettant en évidence les doubles signes des radicaux,

]zdq

(ii;

±dq,

^[c-—qi]['^ + [l>.~l>.,]q,— lq\]

Les constantes X et a se déduisent des circonstances initiales. Je désigne par des lettres surmontées d'un trait les valeurs initiales des quantités que ces lettres représentent en général. L'intégrale des forces vives, H= — X, qui est vérifiée dans tous ces problèmes, va nous donner X:

(III) ^ = H= ,^iJ.

^ r ri

Pour calculera, considérons la position M' du mobile, infiniment voisine de M et définie par les coordonnées ej-i-dq, qi-\-dqi; entre les deux ellipses et les deux hyperboles qui se coupent en M et en M' est compris un rectangle infiniment petit dont les côtés sont donnés par l'expression générale (I) de ds, dans laquelle on ferait tour à tour dqi z^ o on dq = o ; ces côtés sont

leur rapport est égal à la tangente de l'angle w que la vitesse en M fait avec l'ellipse de demi-axe q qui y passe

tancrw

V T— c- àqi

KOTE IV. 4l3

Mais on peut tirer de l'équation (II) le rapport de dq à dçi, et il vient

tans» --•/'^''' + '''-^ "■'"'-'<

Il suffît d'appliquer cette formule à l'instant initial pour déterminer a. en fonction de q, q^, tu et 1, qui est déjà connu.

Revenons à l'équation (II). On ne doit donner à q et ^1 que des valeurs telles que les quantités soumises aux deux radicaux aient le même signe, et je dis que ce signe est nécessairement le signe.-!-. En effet, d'après la natui^e de l'ellipse et de l'hyperbole, q- — c- et c^ — q] sont ^ o ; les deux autres facteurs sous les radicaux ont pour somme

^('7' — '7Ï ) -^ f-i? + 'Zi ) + F-i ( î — 71)

cette somme est positive : donc si les deux facteurs ont le même signe, ils seront positifs. La trajectoire peut affecter un grand nombre de formes suivant les valeurs de q et ^1 qui annulent les radicaux; elle n'a des branches infinies que si 1 est positif, ce qui permet de prendre q infini.

Cherchons quelles doivent être les circonstances initiales pour que la trajectoire se réduise à une conique ayant pour foyers F, F, et, pour fixer les idées, à une ellipse ; il faut que le trinôme 1 q"^ -^ [u. -\~ lJ-\) q — oc soit négatif pour toute valeur de q différente de q, ce qui exige, en se reportant à la théorie élémentaire des trinômes du second degré,

><^0, pt-|-p,i= — 2)>f7, — u=:lq ;

4i4 NOTE IV.

la troisième condition fait connaître a; la deuxième, qui entraîne la première, donne, après avoir divisé par cjj remplacé A par sa valeur (III) et transposé quelques termes,

Cette valeur de v est égale à la somme des carrés des vitesses initiales qu'il faut donner au point M pour qu'il décrive l'ellipse proposée en vertu de l'attraction du foyer F seul, ou du foyer Fi ; ces vitesses initiales satisfont respectivement aux deux conditions

Nous avons un cas particulier d'un théorème dû à Legendre : Oti se donne la position initiale d un mobile et la direction de sa vitesse en ce point, et V on suppose que le mobile décrive une courbe détermiriée : i° s'il est soumis à une force F et possède une ^vitesse irntiale a ; 2° s'il est soumis à une force F' et possède une vitesse initiale a' ; 3° s'il est sou??iis à unejorce ¥" et possède une 'vitesse initiale a", etc.; le mobile, étant soumis à la fois aux forces F, F', F", . • • , suivra la trajectoire proposée si le carré de sa vitesse initiale est a^ -h a!'- H- al'- -\- .... Ce théorème se démontre sans peine en cherchant quelle serait la réaction exercée par la courbe proposée sur le mobile en le supposant obligé de se mouvoir le long de cette courbe sous les actions simultanées de F, F', ... ; on reconnaît que cette réaction est nulle.