pi, —-=p,, ..., —p

(3i, (3o, . . . , |3„,, £ étant n nouvelles arbitraires.

L'ensemble des équations (9) et (10) renferme bien les o.n constantes que doivent contenir les intégrales générales du système canonique; il reste à vérifier que les intégrales proposées conduisent aux équations (6). Diflféren lions les équations (9) par rapport au temps; oous aurons n relations

^j f/«i dqi dt j

Zjda^^^dqt dt Zjdldqi dt '

WOTE IV. 4o5

intex'vertissant l'ordre des dérivations,

cP S, (Iqi

(Iqidxi dt

dq^dX dt

D'autre part, si l'on substitue dans l'équation (8) la valeur de S<, on obtient une identité; la dérivée prise par rapport à une des constantes a,, . . ., «//(, A sera nulle, ce qui nous donnera n identités,

Zj,fd^\dqid(Ai ' ■"■' Zj J dSi\ dqidl~^ ~

\dqi) ' [dqij

Mais, si l'on a égard aux équations (lo), la fonction '^

redeviendra celle qui entre dans l'équation (y); ses dé-

• ' •M ^ dS, , . , d-1) .

rivées partielles par rapport a -— deviendront—^? c est-

dqi dj^c

a-dire^— ; les n relations précédentes seront dpi ^

Z^ lldrj.x dpi

d'S, dïl

^ (/ry,<r/a„i dp^ / i dqid\ dpi

Ce système de n équations ne diffère du système (i i)

1 I 1 d(i: r/FÎ

que par le cnaneement des ~ en — ; on peut re-

1 ^ ^ dt dpi ^

garder ces deux groupes de quantités comme satisfaisant à un même système d'équations linéaires; elles

4o6 KOTE XV.

doivent être égales deux à deux: c'est dire que le second groupe des équations (6) est vérifié.

Pour obtenir les valeurs de — - et des dérivées ana-

logues, telles que l'impose le premier groupe des équations (6), je différentie la première équation (lo) :

dpi V^ d-Si dcji >n r/'Si dqi

dt Z^da.dcji dt Zu^dq/dq, dt

Nous avons déjà vérifié que

dqi r/H ^

de dpP

donc

dp^ V^ fZH <r/-Si

dt / i dp, dq^dq^

Mais, si l'on différentie par rapport à q^ l'identité obtenue en remplaçant S par S) dans l'équation (8), il vient

dq^ ji^ ^JdSj^\ dq^dqi dqi

en remplaçant encore dans la fonction tL les — î- par

^ ' dqi "-

leurs valeurs (lo), cette fonction devient H et l'égalité précédente donne

du Y— '^'^' par conséquent, la valeur de — — est bien effale a — 5 et

^ ^ ' dt ° d(,^

l'on trouverait n égalités analogues.

L'intégration du système canonique est ramenée à la recherche d'une intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, mais non linéaire ;

KOTE TV. 407

on n'a pas de méthode générale pour trouver une telle intégrale, mais on y parvient quelquefois en scindant l'équation (8), comme on le voit dans les deux exemples qui suivent.

application au moui^ement d'un point pesant.

Nous appliquerons d'abord les théories précédentes à une question excessivement simple, mais qui nous permettra de former sans peine toutes les équations que nous avons rencontrées et d'y lire des résultats connus. Il s'agit de déterminer le mouvement d'une petite masse m, soumise uniquement à l'action de la pesanteur. En admettant comme démontré que le point m ne sortira pas du plan vertical qui passe par sa vitesse initiale, la position de ce point sera déterminée par ses distances à deux axes, l'un horizontal, l'autre vertical. Si l'on appelle^), q^ ces distances, on a la demi-force vive

Introduisons les dérivées partielles />( , /j>o : on aura

p,-=mq\, p.^ = mq'.,, T=--[p\-^p\).

On a une fonction des forces \] = Jngq^, et l'on peut écrire la fonction d'Hamilton

[n bis) H — U — T =: mgq^ [p\ -r- pI). ■

lin

Les équations canoniques sont

dp\

dp^^

dc/i

dq,

cLt ="^-^'

dt^""'

Ut

dt

Il est bien facile de trouver et d'interpréter les inlé-

40^ KOTE IV.

grales de ce système; mais voyons celles que fournit la méthode de Jacobi. L'équation en S est

I Vf fis y / ds