Composition des couples situés dans des plans quelcon
p. , QUES. — Si Von mène dans les
plans des deux couples donnés deux droites AB, AC, perpendiculaires à V intersection de ces plans et proportionnelles aux moments de ces couples, la diagonale AD du parallélogramme ABCD, construit sur ces deux droites, représentera en grandeur le moment du couple résultant, dont le plan passera par cette diagonale et par l'intersection AH.
348. Autre manière de présenter la composition des couples. — Par un point 0 pris à volonté sur le bras de levier soit menée
Fig. 1 15. une droite OL, perpendiculaire au plan
du couple (P, — P), et dont la grandeur représente le moment du couple, cette droite étant dirigée d'un côté de ce plan tel, qu'un observateur placé sur cette perpendiculaire, les pieds sur le plan et l'œil au point L, verrait tourner ce plan dans un sens convenu, par exemple de sa gauche vers sa droite. Nous appellerons cette droite le moment linéaire du couple.
319. Le moment linéaire du couple résultant de plusieurs couples situés dans des plans parallèles est égal à la somme algébrique des moments linéaires des couples composants.
350. Deux couples situés dans des plans différents se composent en un seul dont le moment linéaire est la diagonale du parallélogramme qui a pour côtés les moments linéaires des deux couples composants.
DES MATIÈRES. /^l'J
351. Les couples se composent comme des forces qui seraient représentées en grandeur et en direction par leurs moments linéaires, et qui passeraient par un même point.
COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DES FORCES APPLIQUÉES A V^ SYSTÈME INVARIABLE.
352. RÉDUCTION DES FORCES APPLIQUÉES A UN SYSTÈME INVA- RIABLE. — Toutes les forces appliquées à un corps solide peuvent se réduire a une force unique R, résultante des forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point arbitraire 0 et à un couple unique (S, — S).
353. Quand un système de forces est en équilibre y les forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque se font équilibre autour de ce point, et les couples résultant de la translation de ces forces doivent aussi se faire équilibre. Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes.
354. Si le système admet une résultante unique, la force R est parallèle au plan du couple résultant. Cette condition est suffisante.
353. Un nombre quelconque de forces appliquées à un système invariable peuvent se réduire à deux for-ces S et'ï qui sont, en général, dans des plans différents , et dont l'une passe par un pointO, entièreme/it arbitraire. Cette réduction peut s'opérer d'une infinité de manières.
356. Réciproquement, deux, forces T et S, non situées dans le même plan, peuvent toujours se ramener à une force et à un couple.
357. Équilibre dun système de forces parallèles situées DANS UN MÊME PLAN. — En nommant P, P', P",... les forces données, a:, x' , x",. . . leurs distances à un axe des y qui leur est parallèle, on a
Pjc+ PV+ P"^" + . . .= o.
358. Si les forces données ne se font pas équilibre, elles auront une résultante unique R, appliquée à un point dont a:^ sera l'abscisse :
P.rH-P'x'+P".r"H-...
P-i-P'-hP"-
Sturm." — Méc. II.
359. Si la force R était nulle, le système se réduirait à un couple.
360, 361. Composition et équilibre d'un système de forces SITUÉES DANS UN MEME PLAN. — i° La sonime des moments des fojxes par rapport à un point quelconque de leur plan doit être nulle; %° les sommes des composantes, suivant deux axes quelconques, doivent être nulles séparément.
3G2, 363. Si les forces données ne se font pas équilibre, elles se réduiront à une force R et à un couple (S, — S) qui auront une résultante unique, si R n'est pas nul. On aura
Pour obtenir la direction suivant laquelle agit la résultante unique, soient ^,, j, les coordonnées d'un point quelconque de cette droite, et Xp Y, les composantes de la force R parallèles aux axes; en posant
G = Xj — Xx -\- X'j-' — Y'^' ^- . . . , ,
on aura
364. Équations générales de l'équilibre. — Soit un système quel-
Fifî. 123.
conque de forces P', P",. . . appliquées à des points A {x^y,z], k!{x\j\ z'), A" [x'\ y'\ z"), . . . liés entre eux d'une manière invariable. Décomposons la force P en trois autres X, Y, Z parallèles à trois axes rectangulaires.
On ramène le système proposé à plusieurs forces dirigées suivant les axes et à un certain nombre de couples (X, — X), (Y, — Y), situés dans les '^ plans coordonnés. En appelant X, F,
Z, les résultantes des forces dirigées suivant les axes et L, M, N les moments résultants obtenus en composant les couples situés dans chacun des plans coordonnés, on aura
L =Zx— Yz + Z'j-' — Y'z^+...,
M = Xz— Zx + X's' — Z'^'H-... ,
N -^ Y^ — Xj> +Y'.r' — Xy+. . . .
365, 366. Quand il y a équilibre, on a
X=o, ¥=-0, Z^o, L — o, ÊI=o, N=o,
ou bien, en introduisant les intensités des forces P, P', P", . . . , et les angles a, p, 7, a', p', 7',. . .^ que leurs directions font avec les
axes,
P COSa + P' COSa' 4- ... — o.
Pcosp-h P'cos^'-+-- .= 0, P COS7 -l-P'cos7'-f-. . .= o, et
P (7COS7 — zcosp) + P' (r'cos7' — s'cos^') +. . .— o,
P ( z cosa — .rcoS7) -r P' (z' COSa' — j:'coS7') +■ • = o, P (^cosp — rcosa) + P' (.r'cos[3'— j'cosa') -t-. . . = o.
367. On appelle moment d'une force par rapport à un axe le produit de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à l'axe multipliée par la plus courte distance entre cet axe et cette projection. Si un système de forces appliquées à un corps solide est en équilibre^ In somme des moments des forces, par rapport à trois axes rectangulaires menés par un même point, doit être nulle pour chacun de ces axes,
