L'expression ^ (X(î'x+ Y^j+ ZtJs) est une variation
exacte quand les forces motrices R, R', R", . . . sont dirigées vers des centres fixes et fonctions des distances de leurs points d'application aux centres.
480. Si les forces R, R', R"^ . . . supposées attractives ont pour expressions
la fonction
— -1 5 xi — — p; J II — — ;p,
est un maximum ou un minimum quand il y a équilibre.
481. Le premier membre de l'équation générale des vitesses virtuelles est encore une différentielle exacte, quand les forces considérées proviennent des actions mutuelles des points du système, et qu'elles sont simplement fonctions des distances mutuelles des points qui agissent les uns sur les autres.
482. Dans l'équilibre d'un système de points pesants, sollicités uniquement par leurs poids, le centre de gravité est le plus haut ou le plus bas possible.
SiCRia. — 2>/ec. II. 28
PRINCIPE DE d'aLEMBERT.
•483 à 48S. DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DE d'alembert. — Les forces motrices cVun système font à chaque instant écjuilibî'e à des forces égales et contraires aux forces qui produiraient son mouvement effectif, si tous ses points devenaient libres.
■486. Remarques sur le principe de d'alembert. — On peut présenter le principe de d'Alembert sous une autre forme, utile dans quelques cas. Chaque force étant décomposée en deux, l'une nommée force effective et qui produirait le mouvement du point, s'il était entièrement libre, et l'autre qu'on nomme force pe7-due, on peut dire qu'à chaque instant les forces perdues se font équilibre.
487. On pourrait remplacer d'une infinité de manières les forces données par d'autres susceptibles d'imprimer le même mouvement au système, non plus libre, mais assujetti aux conditions données,
488. Équation générale du mouvement d'un système. — Soit P la force appliquée au point M, dont la masse est m. Nommons X, Y, Z ses composantes parallèles à trois axes rectangulaires; on a
d'i dt'
489 à 492. Conséquences de l'équation générale. — Les conditions
devant être satisfaites par le système, on aura
dx cly clz dx
d\l . dW^ ^ d\l. ^ d\l
dx dj - dz dx'
-z— ^^ -I- -7- ^r -f- -y- 0 z H- -7-7 Sx' -\- . . . = o, dx dy dz dx'
Si n est le nombre de points du système, il y aura T>n — i varia-
tions arbitraires, et / variations fonctions de celles-là déterminées par les i équations précédentes. On portera les valeurs de ces i variations dans l'équation (i), et égalant à o les coefficients des "in — i variations restantes, on aura 3/? — / équations différentielles entre le temps, les forces et les coordonnées des points du système. En y joignant les i relations (2), on aura 3« équatious pour déterminer les 3/2 variables ^, j, z, ^', j', z', . . . en fonction du temps t. Il restera à intégrer ces équations. On peut aussi employer la méthode des multiplicateurs.
EXTENSION ET APPLICATIONS DU PRINCIPE DE d'aLEMBERT.
493, 494. Des forces instantanées ou percussions. — On appelle ainsi les forces qui agissent pendant un temps très-court avec une grande intensité.
495 à 497. Extension du principe de d'Alembert aux forces DE PERCUSSION. — Le principe de d'Alembert s'applique aux forces de percussion, en remplaçant ces forces par les quantités de mouvement qu'elles sont capables de produire. Considérons le système depuis le temps t^ jusqu'au temps t^-\- 6, pendant lequel la percussion agit. On aura
dt
dx^
\ Sx
Y dt 4- m -^ dt
dr\ dt j
to-^9 dz
Zdt-'r-m-^dt
dz^
m — dt ^
les lettres affectées de l'indice o désignant les valeurs relatives à l'époque t^^ et les lettres sans indice les valeurs relatives à l'époque
Cette équation exprime qu'//jr « équUihre entre les quantités de mouvement que les percussions communiqueraient aux différents points s'ils étaient libres, les quantités de mouvement qu'ils possèdent au moment où les percussions commencent a agir et celles qu^ils ont après leur action, ces dernières étant prises en sens contrcdres. On néglige pendant le temps ô les forces ordinaires, telles que la pesanteur, qui n'ont pas une intensité très-grande.
Lorsque le système part du repos, il y a équilibre entre les quantités de mouvement que les forces donneraient aux divers points du système s'ils étaient libres et celles qui ont lieu effectivement, et avec lesquelles ce système commence à se mouvoir, au bont du temps 0, ces dernières étant prises en sens contraire.
498. Marche a suivre pour appliquer le principe de d'Alem- BERT DANS LE CAS DES PERCUSSIONS. — Pour appliquer le principe de d'AIembert, étendu au cas des percussions, il faut suivre la marche indiquée au n° 490.
499 à SOS. Mouvement de deux corps liés par un fil et
PLACÉS SUR deux PLANS INCLINÉS.
SUITE DES APPLICATIONS DU PRINCIPE DE d'aLEMBEKT.
S04 à 506. Mouvement de corps liés par des cordons.
507 à 510. Mouvement d'une chaîne sur deux plans inclinés.
511. Mouvement de deux points assujettis a demeurer sur deux courbes données et dont la distance est invariable.
MOMENTS d'inertie.
512. DÉFINITIONS. — On appelle moment d'inertie d'un point matériel par rapport à un axe le produit de la masse de ce point par le carré de sa distance à l'axe.
513. Le moment d'inertie d'un système de points matériels dont la forme est invariable, par rapport à un axe, est la somme des moments d'inertie de tous ces points par rapport à cet axe.
514. Les points matériels qui composent un corps n'y sont pas répandus d'une manière continue : on sait, au contraire, qu'ils sont séparés entre eux par des espaces vides qu'on appelle des pores. Cependant on peut, dans chaque cas, obtenir le moment d'inertie, en supposant la masse distribuée d'une manière continue dans le corps.
DES MATIÈP.ES. 4^7
SI5. Moments d'inertie d'un parallélipipède rectangle. —
En appelant M la masse du corps, et a, b, c les longueurs de ses arêtes, les moments d'inertie du parallélipipède par rapport aux axes Oj:, Oj, Oz sont
Le plus grand correspond à la plus petite arête et le plus petit à la plus grande.
516 à 518. Ellipsoïde homogène. — Soit
l'équation d'un ellipsoïde rapporté à ses diamètres principaux. M étant la masse de l'ellipsoïde et A, B, C désignant ses moments d'inertie par rapport aux axes O.r, Or, Oz, on aura
519. ^^^ est le moment d'inertie d'une sphère par rapport à un diamètre quelconque.
est le moment d'inertie, relativement à un diamètre quelconque, d'une couche sphérique dont les rayons intérieur et extérieur sont a et è, et dans laquelle la densité p, supposée la même pour tous les points situés à une même distance du centre, est variable avec cette distance.
520. S'OLiDES de révolution. — Soient CD la courbe méridienne
Fig. i58.
ÎS
et 0^ l'axe de révolution. Le moment d'inertie du volume engendré par la révolution de l'aire ACDB sera
y'^dx,
la courbe CD.
en désignant par « et Z» les abscisses OA et OB des extrémités de
