PROPRIÉTÉS DE LA CHAINETTE
421. D'après son équation la chaînette est symétrique par rapport à l'axe des j'.
TRENTE-DETJXIÈME LEÇON. 5l
En comparant les équations différentielles avec celles qui résultent de leur intégration, on trouve
ds (^) •^ = ^'^'
dy
d'où
En voici l'interprétation géométrique :
La première signifie qu'en chaque point M de la cliai-
Fig j3q, nette, la projection MK de
l'ordonnée de la courbe sur la
normale MN est constante et
égale à h. En effet,
MK=jcosPMK =
dy' dx-
L'équation (3) exprime que la projection MI de l'ordonnée sur la tangente MT est égale à l'arc BM, compté à partir du point le plus bas de la courbe. En effet
MI
dy
mais -^ = y : donc dx II
IP tangT = /i — :
dx
MI = s.
Enfin l'équation (4), conséquence des deux autres, signifie que la longueur désignée par A, l'arc MB et l'ordonnée j forment un triangle rectangle dont l'ordonnée est l'hypoténuse.
422. On peut obtenir les formules précédentes d'une manière un peu différente. Reprenons l'équation (418)
ds = hd%~ dx
Elle donne d'abord l'équation (3). En y remplaçant as
Sa couns ue mécanique.
par clx k/ I -h -—') on a
(7) dxsjid'où
dy ■=. -^ d.r. :
d'où, en intégrant,
dy- , dy dx- ax
d — dy dr
dx 1 ,ly2
dx' dx
On veiu^a comme précédemment qu'il n'y a pas de conslantes à ajouter à ces valeurs.
423. La courbe, lieu des points I tels que MI = arcBM, est une développante de la chaînette. La droite IP est tangente à cette courbe au point I, et la longueur IP de cette tangente comprise entre le point I et l'axe des x est constante et égale h. h.
424. Le l'ajon de cowhure de la chaînette est égal à la normale MN, mais dirigé en sens contraire. En effet, l'équation
dx^ dx
donne
dx'- h '
donc, si p désigne le rayon de courbure, on a
TREJXTE -DEUXIÈME LEÇON. 53
Mais l'équation
donne
Jy2 yl
^ doc' A»
Donc enfin
