DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DE D ALEMBERT

483. Le mouvement d'un système de points assujettis à des conditions quelconques et soumis à des forces quelconques se détermiae au moyen d'un principe très-général que l'on doit à d'Alembert. Mais avant de le démontrer, nous allons rappeler la définition générale de l'équilibre.

On dit que des forces appliquées à un point ou à un système de points se font équilibre, quand l'état de celuici n'est nullement changé par leur suppression. Cette définition ne suppose pas le système en repos. Il peut être en mouvement, et alors on dit que les forces se font équilibre quand, en les étant, on ne modifie pas le mouvement du système.

484'. Considérons un système de points en mouvement M, M', M'', ... -, soient jUj ni', m'', . . . leurs masses et P, P', P'^ . . . les forces qui les sollicitent. Ces points sont assujettis à certaines conditions, ordinairement exprimées par des équations entre leurs coordonnées.

aux axG3

Fig. i52.

TKEKÏE-SIXIÈME LEÇON. p5

Considérons en particulier un de ces points, par exemple le point M qui est sollicité par la force P. Le mouvement de ce point n'est pas le même que ^ s'il était libre. Soit Q la force qu'il faudrait lui appliquer, s'il étai t libre, pour lui donner le mouvement qu'il a réellement. Les composantes de la force Q parallèles

d^ X cP Y d- z

dt- cW dt^

sont des fonctions du temps connues ou inconnues, mais déterminées. Soient de même Q', Q'', • • • ^es forces qu'il faudrait appliquer aux points M', xM", . . . , s'ils étaient libres, pour leur conserver le mouvement qu'ils ont dans le système. On voit que si l'on substitue les forces Q, Q', Q", . . ". aux forces P, P', P'', . . . , tous les points prendront le même mouvement qu'auparavant, sans que les mêmes conditions analytiques cessent d'être remplies; car, puisque leur mouvement est le même dans les deux cas, les équations de conditions seront encore satisfaites. Ainsi, au système des points assujettis aux conditions données et sollicités par les forces P, P', P '',... , on pourra substituer le système des points assujettis aux mêmes conditions et sollicités par les forces Q, Q',

485. Cela posé, le système étant sollicité par les forces ?, P', P", . . . , ou ne modifiera point son mouvement, si l'on applique respectivement aux points M, M', M'', o . . les forces égales et directement opposées Q, — Q, Q', — Q', . . . , qui se font équilibre deux à deux. On

g6 cou as DE MÉCANIQUE.

vienl de voir que, sans qu'on ait à clianger les liaisons du système, les forces Q, Q', Q'',... produisent le mouvement

effectif. DonclesforcesP,F,P''', ... , — Q, — Q', — Q'V.. se font équilibre, puisque le mouvement n'est pas changé par leur suppression. On arrive donc ainsi au principe qui porte le nom de d'Alembert, savoir que les forcés motrices dhin système font à chaque instant équilibre à des forces égales et contraires aux forces qui produiraient son i7iouuement effectif si tous ses points devenaient libres.

REMARQUES SUR LE PRINCIPE DE d'aî.EMBERT.

486. On peut présenter le principe de d'Alembert sous une autre forme, utile dans quelques cas. Décomposons la Pi„ ,53 force P appliquée au point M en

deux, dont l'une soit la force désignée par Q, et l'autre une force cjue nous appellerons R.

Nommons de même Q', R', Q", ~~'iy"^'^ " R'', . . . les composantes ana-

logues des autres forces P', P", . . .

On peut remplacer les forces V, P', P", . . . par les forces Q, R, Q', R', . . . . Mais alors on voit que les forces R, R.', R'',... doivent se faire équilibre, puisque les composantes Q^ (^\ (^" . . . . donnent le même mouvement que les forces P, P', P", .... Ces forces sont dites \es forces perdues . Quant aux composantes Q,Q' ^Q"^...^ on pourrait les appeler yb/'ce^ effectives, puisqu'elles ont sur le système le mêm(3 effet que les forces motrices

P, P', P", On peut donc dire qu'à chaque instant les

forces perdues se font équilibre.

Cet énoncé revient au précédent; car chaque force R est la résultante des forces P et — Q. Dire que les forces R se font équilibre, revient donc à dire que leurs composantes P, — Qî'P', — Q'v • . se font équilibre.

TRENTE-SIXIÈIVIE LEÇON. Qy

487. Il est bon d'observer qu'on pourrait remplacer d'une infinité de manières les foi'ces données par d'autres susceptibles d'imprimer le même mouvement au sj^sièrae, non plus libre, mais assujetti aux conditions données. En eilet, supposons que des forces R, R', R", ... se fassent équilibre. On pourra décomposer chaque force P en deux forces R et Q. Comme les forces R se détruisent^ il ne restera que les forces Q qui produiront le même mouvement que les forces P. Il en résulte que le système P, P', P", ... et celui des forces — Q, — Q', — Q",..., égales et opposées aux forces Q définies en dernier lieu, se font équilibre. Mais cette conséquence est peu utile dans les applications, parce qu'on n'a pas l'expression analytique des nouvelles forces.

ÉQUATION GÉNÉRALE DU MOUVEMENT d'uN SYSTÎïME.

l. En vertu du principe de d'Alembert, toutes les questions de mouvement se trouvent ramenées à des questions d'équilibre. Voici comment on s'en servira pour obtenir les équations du mouvement d'un système dans lequel les points sont assujettis à certaines conditions. Soient

«équations de condition, exprimant les liaisons du système. Ces équations contiendront en général, outre les coordonnées des différents points, le temps t, de sorte que les conditions peuvent varier avec le temps.

Soit P la force appliquée au point M, dont la masse est m. Nommons X, Y, Z ses composantes parallèles à trois axes rectangulaires ; celles de la force que nous avons appelée — Q sont égales à

d':v ePr d'^z

di^ dl' dt^

Stubm. ~ 31éc., II. ^