L'expression
est une variation exacte quand les forces motrices sont dirigées vers des centres fixes et fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Supposons, pour simplifier, qu'il n'y ait qu'un seul centre K («, ^,c); soit R (X, Y, Z) l'intensité de la force qui agit au point A[x,j;z) suivant AK.: supposons-la attractive et soit
TRENTE-CINQUIÈME LEÇON. Qî
AK = 7-, On aura
Xo.r+Y^r + Z(îz = R ^;r4-R ^dV + R ■ ^s,
OU bien
à cause de
{:v — ay-^{y—by-\-{z-cyz=r\
On trouverait H- R^r, si la force était répulsive. De même en désignant par R' (X', Y', Z') , R" (X", Y'', 71') , . . . les forces attractives ou répulsives qui agissent aux points A', A",..., situés aux dislances r', r'\... du centre fixe, on aura
(X<î.r + Y^j + Zo^z) = — R^r — R' ^a'— R"^r"—
Cette fonction est une différentielle exacte, si, comme on le suppose, R est une fonction de r^ R' une fonction
de r', etc.
480. Si les forces R, R', R'', . . . supposées attractives ont pour expressions
[/. étant un coefficient constant, le second membre sera la différentielle exacte de
Ainsi, dans ce cas, la fonction
est un maximum ou un minimum quand il y a équilibre.
481. Le premier membre de l'équation générale des vitesses virtuelles est encore une différentielle exacte, quand les forces considérées proviennent des actions mutuelles des points du système et qu'elles sont simplement fonctions des distances mutuelles des points qui agissent les uns sur les autres.
Soit en effet R la force avec laquelle deux points A (x,jy, z) et A! [x\ j'^ z') agissent l'un sur l'autre. La force qui tire A vers A' a pour composantes parallèles aux axes
et les composantes de la force égale à E. qui tire A' vers A
sont
ces forces introduisent donc dans 2(XcJj: + YJ/H-Z;?^) un groupe de termes
ou — RJ/-, à cause de l'équation
Il en résulte que
\ {XSx -hYSj -h Z5z) = —Y R^r,
Or d'après l'hypothèse \ Rôr est une différentielle
exacte.
S'il n'y avait que deux points et qu'ils fussent assujettis à demeurer à une distance constante l'un de l'autre, on aurait dr--=: o et qzE.(^r=:o. Par conséquent la somme des moments virtuels de deux forces égales et contraires agissant suivant AA' est nulle 5 c'est le lemme dont on a fait usage au n*' 446.
TTlEKTE-CIKQtJIÈME LEÇON. ()3
482. Considérons encore un système de points pesants. Soient Pip'i p"-i- ' ' leurs poids et supposons qu'il n'y ait pas d'autres forces que la pesanteur. Si nous prenons l'axe des z vertical ou dirigé dans le sens de cette force, l'équation des moments virtuels se réduit à
pdz + p'6z' -T- . . . =z o :
on a donc
d{pz +l/z' -h p"z" -[-... ] = o.
Soient P la somme de ces poids et z^ le z du centre de gravité du système, on a
pz+p'z' -+-p"z"-h...=Vz, et
ou
Sz, = o.
Ainsi, dans la position d'équilibre le centre de gravité est le plus haut ou le plus bas possible. C'est ce qu'on avait déjà remarqué à propos de la chaînette.
riK DE LA STATIQUE
g/\ COURS DE MÉCANIQUE.
