MOUVEMENT DU TREUIL

560. Considérons un treuil sollicité par le poids de deux masses m et m' agissant au moyen de cordes, la

Fig. i65. première sur la roue OC, la seconde sur le cylindre OC. Nous tiendrons compte de la masse du treuil; mais nous négligerons le poids des cordes et le frottement des tourillons sur les coussinets. Soient x et x' les distances des centres de gravité des masses m et m' aux points C et C.

D'après le principe de d'Alembert, nous devrons regarder deux forces respectivement égales à mi^ ^ S

l64 COURS DE MÉCANIQUE.

f d^ x' \ ni' i g 77")' comme appliquées en m et en /?/' siii-

vanl la verticale et tirant de Laut en bas. Ce sont les forces perdues relatives à ces deux points.

Considérons une molécule du treuil, de masse f;, à une distance rde Taxe. Si w est à l'époque actuelle la vitesse angulaire du système, la force effective du point p, se

compose de sa force tangentielle pt./' — et de sa force centripète ^r^où qu'il faut prendre toutes deux en sens contraire. Mais la force centripète perpendiculaire à Taxe fixe est détruite par la résistance de cet axe. Le poids du treuil est aussi détruit, parce que son centre de gravité se trouve sur l'axe fixe, à cause de la symétrie du treuil autour de son axe.

Donc, si nous faisons OC = c, OC = c', et si nous exprimons que la somme des moments par rapport à Taxe des forces motrices du système et des forces effectives prises en sens contraires est nulle, nous aurons, d'après le sens suivant lequel les forces tendent à faire mouvoir leurs points d'application,

/ d\T\ , / d'x'\ , dco\^

dp J \° de ) dt

561. Les dérivées des deux variables x et x' peuvent être exprimées au moyen de la vitesse angulaire. En effet, d'après le sens du mouvement, la vitesse du point m est égale à celle du point C; mais la vitesse du point m' est égale et de sens contraire à celle du point C. On aura donc

dx

—- = cw, dt

dx'

— c' co ,

et, par suite,

J^j^ dvi de ~~^ dt""

de "

--"dt

QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON. l6J

Désignons par MA^ le moment d'inertie du treuil par rapport à l'axe, M étant la masse du treuil. L'équation du mouvement (i) deviendra

d'où l'on tire

dt MA2 4-/?zc--j- w'c^ d'où l'on déduit, en supposant la vitesse initiale nulle, gt [me — m' c')

MA'^H- /ne- -h hi'c'^

La vitesse est donc proportionnelle au temps, et le mouvement est uniformément accéléré. L'accélération est à la pesanteur comme me — rn'c' est à MA^ -+- mc^ -+- ni' c'^.

Si l'on avait me = m'c', la vitesse angulaire serait nulle et le corps resterait eu repos. En effet, c'est la condition pour que les poids m et /// se fassent équilibre. S'il y avait une vitesse initiale, le mouvement serait uniforme.

562. Les tensions des cordons ne sont autre chose que les forces perdues. Appelons-les T et T', nous aurons

dt' / V* dt

d\x'\ I cl

dt" ) V dt

Remplaçons -— par sa valeur tirée de l'équation (2),

puis introduisons à la place des masses m, m' et M les poids correspondants que nous désignerons par^ , p' et P.

l66 COURS DE MÉCANIQL'E.

Nous aurons

pc{pc—p'c')

T' = ' -^ p'c'{pc — p'c')

Si le système tourne dans le sens indiqué par la figure, on a pc >> p' c\ puisque w est plus grand que zéro. On a dans ce cas T <^ /;, T' ^ p' . Ces tensions sont constantes pendant le mouvement.

o63-. La pression totale cy exercée sur Taxe du treuil résulte des forces qui se font équilibre autour de lui en y comprenant le poids du treuil. Les forces centrifuges des points du treuil se détruisent mutuellement et ne pressent pas l'axe à cause de la symétrie. On a donc