CAS OU IL K Y A PAS DE FORCES MOTRICES
554. Dans le cas eu il n'y a pas de forces motrices, X, Y, Z sont nulles pour tous les points du corps, et l'équation (2) du n° 550 donne — = o, et w = const., ce que l'on s%it déjà. Le système (3) se réduit alors à
Aj = — — y^ mxz 5
X| = — \ mxz — 0)2 M^i 5
Celte dernière équation montre que les résistances R, et R2 se réduisent à deux forces perpendiculaires à l'axe, puisque leurs composantes parallèles à cet axe donnent une somme nulle.
Il est aisé de voir que les résistances R^ et R2 font équilibre aux forces centrifuges de tous les points du corps qui agissent sur l'axe perpendiculairement à sa direction. La force langentielle est nulle pour cliaque point. D'après les formules (i), les résistances sont proportionnelles au carré de la vitesse constante co.
555. Le point H n'éprouve aucune pression si Xg et Y2 sont nulles, et pour cela il faut et il suffit qu'on ait les deux conditions
( 2 ) \ mxz =■ o , \ myz = o ,
c'est-à-dire que l'axe Oz soit un des axes principaux relatifs au point O. Donc, si un corps retenu par un seul
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point fixe commence à tourner autour d'un des axes principaux relatifs à ce point, il continuera à tourner uniformément autour de cet axe comme s'il était fixe. Le système (i) donne encore
X, = — 0)2 M^i , Y, = — w^Mj, :
donc
a étant la distance du centre^ de gravité à l'axe. On a de plus
ce qui fait voir que la force Ri ou la pression sur le point O est dirigée dans le plan zOd qui passe par l'axe Oz et par le centre de gravité G. C'est ce qu'on trouverait aussi en prenant ce plan pour le plan zOx à l'instant que l'on considère.
S56. Il peut se faire que le point O ne supporte aucune pression. Alors l'axe n'en éprouve aucune. Il faut et il suffit pour cela que Xi et Yj soient nulles, et par conséquent que Xi et ji soient nulles. Ainsi le centre de gravité doit être sur l'axe de rotation, et alors le mouvement ayant commencé autour de cet axe, supposé fixe, continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra entièrement libre. L'axe de rotation est alors un axe principal pour tous les points de sa direction.
CAS ou LES FORCES MOTRICES SE RÉDUISENT A UN COUPLE.
5o7. Les conséquences précédentes subsistent quand les forces motrices se réduisent à un couple situé dans un plan perpendiculaire à l'axe. On a dans ce cas
\ (Zj — Yz)=o, \ (Xz — Z.r) = o.. SîUP.M. — Méc, IL I î
102 COURS DE MÉCAHIQUE.
Pour que le point H n'éprouve aucune pression, il faut que Ton ait X2=:o, ¥3 = 0, Zg = o. Les équations 4*" et b" du système (3), n° 551, donnent
r/w dt
myz — w- y mxz z= o
En éliminant entre ces deux équations — — j on a
di
\ 2 r?i.tz ] H-
ou
ma:z = 0 , y nijz = o.
Ainsi l'axe de rotation doit être un des trois axes principaux d'inertie relatifs au point O . Alors les trois premières équations du système (3) feront connaître les composantes Xj, Yi, Zi de la pression exercée sur le point O, pression perpendiculaire à l'axe, car Zi =0. Si à une époque quelconque cet axe cesse d'être fixe et que le corps soit seulement retenu par le point O, il continuera à tourner uniformément autour du même axe.
558. Pour que le point 0 ne soit pas pressé, il faut que Xi, Yi, Zi soient nulles. Alors les deux premières équations du système (3) , n° 552, donnent
doy d(ù
r, — - -1- w^^i =0, — O!, — - +w=7i = Op dt dt
d OU, en éliminant -—5
' dt
(ù^[x\ -f-JÎ) =05
on a dona
a?, = O , jTi = o
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et le centre de gravité est sur Taxe Oz qui est un des axes principaux pour ce point, et par suite pour tous les points de cet axe. Donc si un corps commence à tourner autour de l'un des axes principaux qui se rapportent à son centre de gravité et qu'il soit sollicité constamment par un couple situé dans un plan perpendiculaire à cet axe-i son mouvement se contiiiuera sans altération, lors même que cet axe serait entièrement libre.
On voit que le système jouit des mêmes propriétés que dans le cas où il n'y a pas de forces motrices.
559. Si Oz n'était pas l'un des axes principaux relatifs au point O, ce point étant seul fixé, la pression au poin t H ne serait jamais nulle, et le corps ne continuerait pas à tourner autour de Oz. On voit par là qu'un corps retenu par un point fixe O et sollicité par un couple ne tend pas à tourner autour d'une perpendiculaire Oz au plan de ce couple, à moins que cette perpendiculaire ne soit l'un des axes principaux relatifs au point O.
