Si le pendule s'écarte peu de la verticale, on a
z = l — a, Zo = / — iio,
1U^ -\- T-Ju — 3«
M et iio étant très-petits, ainsi que /?o.
On a donc à peu près N = ^, et les deux premières équations du mouvement deviennent
d^ X ^ d'Y if
Elles donnent, en désignant par a et 6 des constantes.
ou, si l'on pose [x = i/7'
^ = acosp.?, jj'=Ssinptf5
d'où l'on déduit
La projection horizontale de la courbe décrite est donc
QUARAKTE-CIMQTJÎEME LEÇON. lOQ
une ellipse. On a
g (3) tRïig-l) = - tangpt^.
La durée de la demi-révoîuîion est - ou tt ^ / -■, c'est-
à-dire égale à celle d'un pendule de même longueur qui oscillerait dans un plan vertical.
590. La projection du pendule sur un plan horizontal décrira encore à très-peu près une ellipse si l'angle que le pendule fait avec la verticale varie très-peu, ou en d'autres termes si les valeurs a et b entre lesquelles z reste comprise (581), diffèrent peu l'une de l'autre; car alors N sera à peu près constante. En effet, si z restait égale à
(Pz Nz la constante li, l'équation — - H — § =^ o donnerait
N = ^ • On conçoit que si z diffère peu de k, la valeur
de N sera à peu près constante et égale à —-Mais on peut îe voir de la manière suivante : on a
on a trouvé
i^ — a^ — b' — nb
ha — Zo-=
aonc
iP — 2«^ — ib"^ — lab
OU
igo COURS DE méca:nique.
et, en négligeant z — a, z — b, [a — h)^,
De là résulte
dC- k ' df' A-
Ces équations ont la même forme que les équations (i). On en conclut que la projection horizontale du pendule décrit une ellipse et que la durée de la demi-révolution
est "^ \ --> valeur moindre que "^-X -•
MOUVEMENT d'uNE TIGE PESANTE TOURNANT AUTOUR d'un DE SES POINTS QUI EST FIXE.
591 . En désignant par a:', j' ^ z' les coordonnées d'un point quelconque m de la tige, considérée comme une ligne droite pesante, on a par le principe de d'Alembert
ih
VdXx' ^ , d'y' . , UPz'
df- dV \ dt
Prenons sur la tige un point L dont la distance au point fixe O soit / et soient x, js z ses coordonnées. En désignant par u la dislance 0/;^, on a
xu ju, , ZU
et l'équation (1) devient
si y mu d-'x , d^r ^ dH ^ " ^ -
dt' dt' -^ ^ dt' V ,
y mu'
QUARANTE-Cl]yQUIÈME LEÇOK. » IQI
OU
d^-x „ d^Y ^ d^z ^ s,la
^ • de df -^ df a-+k^
en posant
/wtt = M« , y miû =z M (g^ h- A-2)
a étant la distance du point O au centre de gravité de la tige pesante, M la masse et M/c^ le moment d'inertie de cette tige par rapport à ce même centre de gravité. On a la condition
(4) x^ -h y^ -+- z' = l\ qui donne
(5) X§X -{- jSj' -h z§z = o.
En multipliant cette équation par X et ajoutant l'équation (3), on trouve
592. S'il n'y a qu'un seul point pesant ^ sur la ligne droite, à la distance /, on a\ mu^ ;= p./^, \ jnii = fjiZ et
/ d'^x de
de
f de
si
, , d^r ^ d^r , dH
Les équations (6) se réduisent à celles-ci, si l'on sup~ pose 1= a -l Ainsi la tige pesante se meut comme
1^2 « COURS DE MÉCâWIQt;E.
le pendule simple, dont la longueur est / = a -} Le
point L est le centre d'oscillation. Ce point se meut comme un point libre sollicité par la pesanteur g et par une force accélératrice dont les composantes sont — "kx^ — "kj, — kz. Cette force est dirigée vers le point O et son intensité est X sj x'^ -\- j"^ -\- z^ ou \l. C'est la tension désignée par N. On a N = \l. II ne faut pas croire que la tension soit constante dans toute l'étendue de la tige.
d''-.T' 593. Toutes les forces perdues, telles que — m — yj-t
d^r' ( d^z'\ — m — '— 5 ^^\§ TT ) se font équilibre autour du point
fixe O ou sont détruites par la résistance de ce point. Ainsi , quoiqu'elles soient appliquées aux différents points de la tige et non en un seul point, elles ont une résultante unique passant par le point O. C'est la pression exercée sur le point O, égale et contraire à la résistance de ce point. En désignant cette pression par P et ses composantes par X, Y, Z, chacune d'elles est égale à la somme des composantes des forces perdues, comme si toutes ces forces étaient transportées au point O, d'après le principe connu que des forces en équilibre sur un corps solide se font encore équilibre si elles sont transportées en un même point. On a donc
= -1' ou (591)
V^ mil d'^.T. Mrtr d'x
ou, en veilu de la première équation (6),
QîyARASTE-CIWQIUÈME LF.ÇO:N. IQS
ensuite, par des transformations analogues,
M<3 ^ „ Ma ^ ,,'' — «
S9i, La pression P sur le point O n'est pas dirigée suivant la tige. Elle est la résultante de deux forces, l'une dirigée suivant la tige et égale à MaX, l'autre verticale et
égale à M^ — - — ? c'est-à-dire à la composante qu'on
obtient en décomposant le poids Mg de la lige en deux forces verticales appliquées au point fixe O, et au centre d'oscillation L.
595. Si le centre de gravité de la tige coïncidait avec le point fixe, on aurait a = o, /= oo , et le mouvement de la lige ne serait plus celui d'un pendule simple de longueur /. Mais dans ce cas le poids de la lige étant détruit constamment par le point fixe, la tige doit rester dans le plan qui passe par sa position initiale et par la direction de la percussion, et tourner dans ce plan avec
la vitesse constante w = ^— r" Mk'
596. On arriverait encore aux équations du mouvement en exprimant que les forces perdues se font équilibre autour du point fixe, ou bien par la formule générale de la dynamique. Dans ce dernier cas, on prendrait pour mouvements virtuels : i° le mouvement eiïeclif^ 2° un mouvement de rotation autour de l'axe des z.
Stubm. — Méc, II, i3
