DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE

On reconnaît encore immédiatement que la projection de la normale sur Fun des rayons vecteurs , ou n cos w , est

égale au demi-paramèfre — •

On voit aussi que la projection du rayon de courbure sur un des rayons vecteurs , ou R cos o), est égale à — 5 quatrième proportionnelle, que Ton construira immédiatement, de manière que M soit une de ses extrémités, et l'autre en un certain point de MF'. Elevant en ce point une perpendiculaire à MF', elle rencontrera la normale au centre de courbure. Mais on arrivera encore à une construction plus simple indiquée par Newton, en observant

qu'on a

n R cos w =

cos ûJ

D'où il suit que si par le pied de la normale on lui élève une perpendiculaire jusqu'à la rencontre d'un des rayons vecteurs , et que par ce point de rencontre on en élève une autre à ce rayon vecteur, cette dernière ligne coupera la normale au centre de courbure.

18. Revenons maintenant à la question de mécanique. Les aires étaut proportionnelles au temps , la force qui produit le mouvement relatif autour du soleil passe par le centre de cet astre; et il s^agit dé trouver la loi de cette force, sachant que la courbe décrite est une ellipse dont le centre du soleil occupe un foyer.

Désignons par cp la force accélératrice appliquée au point matériel M et dirigée suivant MF \ sa composante suivant

la normale MN sera 9 cos w, et son expression sera - 5 ^^ dé-

\ , ds

signant la vitesse y du mobile. Si maintenant ou désigne

34 GOUaS DE MÉCANIQUE.

par C le double de Taire constante décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps, le double de celle qu'il décrira dans le temps dt sera Crf^..Or, cette aire est un triangle ayant pour base l'arc ds décrit danis le temps dt^ et pour Hauteur p. On aura donc

pdsznCdty d'où «'==->

et, par suite,

f CCS 6) = — = -— ) d'où f =

R /?'R ^ /?»Rcosw

formules applicables à toute courbe-, et, remettant pour /?, R et cos « , leurs valeurs en <î et d'j

Ce qui prouve que la force est en raison inverse du carre de la distance au centre du soleil.

On peut exprimer la constante C au moyen du temps T de la révolution de la planète autour du Soleil ; car le double de Taire de Tellipse étant 2 tt a& , on aura «

donc

et

^ir'^a^ I

de sorte que la force accélératrice à l'unité de distance est

IJI2

On retombe ainsi sur les résultats trouvés précédemment

UEUXIEHR PARTIE. — DYNAMIQUE^ ^35,

Si la force était dirigée vers le centre O, on aurait

q ^ 7*Rcosw 7'R

p = - «p == — — = -— = — ^ — ^.OM = — 7-.OM,

a <7'Rcosw /7'R a^ n^ n^b^

résultat identique avec celui que nous avons déjà trouvé par l'analyse [voir page 6) .

19. Avant d'obtenir la démonstration de la loi de Fattraction des planètes. Newton l'avait entrevue par des considérations que nous allons indiquer, et qui , sans avoir le même degré de rigueur, ne laissaient pas que de donner de très-fortes inductions.

Les planètes décrivant des orbites d'excentricités diffé rentes , on peut supposer, par analogie , que les lois de Kepler, qui leur sont communes ^ s'appliqueraient encore au cas d'orbites circulaires : d'autant plus que les orbites réelles étant très-peu excentriques , on peut avec une assez grande approximation les regarder comme circulaires. Ainsi, on aura des résultats , sinon exacts , au moins fort approchés , en appliquant les lois de Kepler au cas d'orbites circulaires. Cela posé, la loi des aires indique toujours que la force qui agit sur chaque planète est dirigée vers le centre du Soleil. La seconde loi, qui, dans le cas général, prouvait que, pour la même planète, la force accélératrice variait en raison inverse du carré de la distance , montre , dans le cas actuel, que la vitesse est constante ^ car les arcs de cercle sont proportionnels aux secteurs et, par suite, au temps 5 ou encore la force est toujours normale à la trajectoire, et, par conséquent, la vitesse est invariable. Or, la force centripète,

appliquée à l'unité de la masse, a pour valeur — > (^ étant

36 COUES DE HKGikNIQUE.

la vitesse , et R le rayon du cercle \ elle est doue eon&taute. Ainsi 5 dans ce cas particulier, comme on devait le prévoir, la seconde loi n'apprend rien relativement à la variation de la force avec la distance*, mais elle en donne toujours l'expression, au moyen du temps T de la révolution entière de la planète et du rayon de son orbite. On a, en effet,

2 7rR= ^'T, et, par conséquent, eu désignant par y la

pi

force centripète ~ 9 en substituant k u ssl valeur en fonctioD

de R et T, on aura

ce qui s'accorde avec la valeur générale —7=7— • — - > dans la-

quelle on supposerait r = a = R.

Passons maintenant à la troisième loi , qui , dans le cas général, étendait la loi d'attraction trouvée pour les diverses positions sur une même orbite , aux positions relatives à des orbites différentes^ Dans le cas actuel , le résultat analogue que nous allons trouver ne sera pas une extension, mais bien la première manifestation de cette même loi. Soient ç, (p' les forces accélératrices relatives à deux planètes quelconques, dont les distances au Soleil sont R, R', et les durées des révolutions T, T'. On aura , d'après les valeurs de 9 et ç',

T • T • • rrij • rri/2 5

or, la troisième loi de Kepler donne

Remplaçant, dans le second rapport de la proportioB précédente, T* et T'* par les quantités proportionnelles