I -h e ces
d'où
ces u — e cos ô =r
1 — e cos u '
par suite
(i — ^) (i H- cos w)
1 4- cos 9 = ^ -4-^
I — e cos u
(i-\-c)(\ — cos tt)
I — cos ô = ^ — :
I — e cos u '
DEUXIÈME PAATIE. — DYNAMIQUE. 55
et, divisant ces deux équations membre à membre,
lang' 7 ô = tang y u ;
prenant les racines avec le même signe, puisque u et 6 sont nuls en même temps , on a
langue = y ^— ^ungi«.
On pourrait encore obtenir directement cette valeur de 9 en fonction de u. En effet ,
cdt cdr du ,
Pour intégrer cette équation, on posera
lang|w = z,
€r qui donnera
du
---=2rfr;
ces' y tt
observant ensuite que l'on a
cos u = ces' I « — sin' y // , il viendra
2,dz sJi — e^ dB = ~ -T- ?
I — e 4- (i -h ^Jz*
d'où
-j 9 = arc tang z i / h c, .
La constante Cj est nulle, puisqu'on doit avoir en même temps 9 = 0, ^ = 05 on aura donc
56 '^ ■ tiOVlL% DE MéCANlQfOÉ.
où
*'=\/is-
tang i^^ ô =r W -— . tang i tt.
La cobrdonnéiE; 6 est donc connue en fonction de u et, par saite,def. , '
28. La durée T de la révolution de la planète «e déduira de l'équation nt = u — e sin u , en y faisant ii = 2 rr,
eq crui donne T= — = un ai /—
C^est aussi la valeur que Ton obtiendrait en divisant Faire de l'ellipse par celle que décrit le rayon vecteur pendant
Tunité de temps, et dont la valeur (Bst-j c, 0U7 ^fxa (i— e').
En effet, les demi-axes de l'ellipse étant a et a ^i — e*,
son aire est égale à na* yi—^e^y et si on la divise par
-Vpa(i — e*), on trouve 2 ïr ai/—
Quant à la vitesse en chaque point, elle est donnée par l'équation i^* = fx ( J > qui se déduit de la formule (2)
en y remplaçant & par sa valeur — -•
29. Les formules précédentes qui expriment t, d aa moyen de la variable auxiliaire u , peuvent facilement être démontrées géométriquement.
Soient O {figé 4) le centre de l'ellipse , F le foyer que l'on considère, M un point quelconque de la courbe, Nie point où l'ordonnée MP prolongée rencontre le cercle décrit sur le grand axe A A' comme diamètre 5 on aura ^
]i|p if
Cherchons d'abord t^en fonction de m 5 et, pour cela, considérons le secteur elliptique MFA décrit pendant le
DEuxiinv paetie: — dynamique^ 57
temps t. Le double de Taife décrite dans Tunité de temps ayant été désigné par c dont la valeur est , eomm!e nous
Pavons vu , ^11 a (i — e* ), oii aura
sect. MFA = A ^ Vfx« (i — <?') = ï 1,
en faisant, comme précédemment, -^^ = n.
Or, on peut avoir une seconde expression du mème.secteui: en fonction de u. En effet, on a, en observant que les ordonnées correspondantes à la même abscisse dans Fellipse et le cercle sont dans le rapport constant de £ : a,
sect. MFA = - sccl. NPA = y/i — £?»(NOA — NOF)- ^
mais
ivTrx 4 «' ^Trx« NO . OF sin u a' e sin « NOA = -— M, NOF = 2 = z '•)
donc
sect. MFA = — (u — e sin a).
Égalant les deux valeurs du secteur, on retrouve Téquation déjà obtenue
72/ = a — e sin u.
Enfin , ou obtiendra une équation entre Q et n en égalant les deux expressions de r en fonction de chacune de ces quantités , et l'on retombera sur Téqualion
tangi Ô = y y— ^ tang | u.
30. Avant de procéder au développement des coordonnées de la planète en, fonction du temps , nous allons mon-* trer comment les formules précédentes se simplifient lors-
58 COL' ES DE MÉCA3IIQIIK.
que Ton peut négliger les puissances de e sapérienres à la première; ce qui est permis ponr la plupart des planètes, avec ane assez grande appronmation.
L équation u = n/ + e sin u donne
« = /i/-h ^sÎD [ml -f- r sin If),
et , en négligeant e*^
tt = ni -h f sin ni.
Or, on a
r z=: a- 1 — e cos «r ) ;
donc , en négligeant encore e', on aura
r = û(i — ccosnt),
U ne reste plus à déterminer que 0. On pourrait le tirer de Téquation de la trajectoire dans laquelle on remettrait pour r la valeur que nous venons de trouver. Mais il vaut mieux le calculer directement d'après Téquation
r-fiS = c€li=z di yV«(ï — ^')-
Eu négligeant le carré de e, Téquation de la trajectoire donne
r^=za,i — ecos9) et r*=:a'(i — 2<?cosOj, et , par suite ,
d'où, CD intégrant et observant qu'on a en même temps e = o, 0 = o,
nt = 0 — 2 r sin 0 ,
etj par suite, en négligeant e*,
^ = nt -^ 2e^n nt.
