DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE* 5g

31. Le mouvement angulaire delà planète serait uniforme , si Ton pouvait négliger le terme 2 e sin nt. Mais on peut toujours se représenter un point dont le mouvement angulaire aurait pour équation 9 = /zf , et qui partirait du périhélie en même temps que la planète -, il passerait encore en même temps qu'elle à l'aphélie, parce que pour ce point., on a 0 = 71 , et ^ par conséquent, sin nt = o. Dans la première moitié de la trajectoire, la planète réelle est en avant de la planète fictive, d'une quantité angulaire dont la valeur approchée est 2 ç sin nt , et que Ton nomme Y équation du centre. Dans la seconde moitié, au contraire, c'est la planète réelle qui est en arrière de l'autre, puisque sin nt est négatif; elle la rejoint au périhélie, et le même mouvement recommence et se reproduit indéfiniment.

On donne a" cet angle nt le nom à* anomalie moyenne^ on l'appelle encore le moyen mouvement de la planète.

La considération de cet astre fictif est utile dans le cas de la terre pour la détermination du temps moyen. On corrige ainsi l'inégalité du mouvement du soleil dans l'écliptique 5 il reste encore à corriger celle qui provient de l'inclinaison du plan de l'écliptique sur celui de l'équaleur ; et c'est à quoi Ton parvient en imaginant un second astre fictif dont le mouvement est uniforme et compris dans le plan de l'équateur. C'est lui qui détermine ce que l'on appelle le temps moyen ; il coïncide quatre fois dans Tannée avec le temps irai qui est indiqué par le soleil réel.

Nous allons maintenant chercher le développement des valeurs des deux coordonnées /• et 0 de la planète en fonction de t. Nous nous servirons , à cet effet ,. d'une formule importante due à Lagrange*, et quoiqu'elle se rapporté naturellement au cours de calcul différentiel, il ne sera peut-être pas inutile d'en donner ici la démonstration.

Formule de Lagmnge pour le développement de certaines ' fonctions implicites,

32. Considérons la fondions de la. variable a: « déterminée par l'équation

y désignant une fonction donnée quelconque,, et a une quantité très-petite par rapport aux puissances de laquelle nous nous proposons de développer z. Les coefficients de ces puissances seront des fonctions de x qu'il s'agit de déterminer, et, d'après le théorème de Maclaurin, seront les valeurs que l'on obtient en faisant a = o dans z , et toutes ses, dérivées par rapport à a, a: étant regardé conune une constante. La questio.n se réduit à trouver la loi de ces dérivées. -

Ce premier problème n'est qu'un cas particulier de celui que nous avons en vue , et qui a pour objet le développement d une fonction quelconque de z , suivant les puissances de a.

Au lieu du développement que nous cherchons, on pourrait, par des substitutions successives, obtenir des valeurs de plus en plus approchées de z. Ainsi, en substituant, dans le second membre de l'équation (i), à z sa première valeur approchée de x , on aurait

Substituant maintenant cette nouvelle valeur plus approchée dans le même membre, on obtiendrait

et l'on pourrait continuer ainsi indéfiniment^ maison aurait, de cette manière, des formules très-compliquées , et