DEUXIEME PARTIE. — DYNAMIQVE. 6l
qui ne permettraient pas d'apprécier le degré d*ap{>roximation •, et c'est pour cette raison qu'on a cherché un développement ordonné suivant les puissances de a, et qui est d'autant plus convergent que a est plus petit. D'après la formule de M aclaurin , nous aurons
ldz\ /d^z\ a} [d'^z\ a" 3 = 3o4-(-7- a+ — ^... .+ -.) : ^. . . . .
11 faut donc connaître la valeur de z et de ses dérivées par rapport à «, quand on y fait a = o. L'équation (i) montre que z se réduit, dans ce cas, à x\ ainsi -z© = ^5 et il reste
Pour cela, commençons par différentier partiellement l'équation (1) par rapport à chacune des deux quantités x et a , considérées comme variables indépendantes ; nous aurons
et, en éliminant/' (z)^
Cette formule ramène les différentiations de z par rapport à a, à celles de z par rapport à x, dont l'emploi est trèsavantageux, comme on va le reconnaître.
On tirera déjà de là (;7— )o5 ^ar, dans l'hypothèse de «==0,2 devient j: , et -j- devient i^ ce qui donne
/dz
^2 GQUAS DE MECANIQUE.
' Pour obtenir --r-^j différéntions les deux membres de 1 equalion (2) par rapport à a , il vient
dH dz dz - d^z
da} dddx dxda^
d^ z on obtiendra en différenliant par rapport à je: la
dz . ,
valeur de — > fournie par Féquation (a) ; ce qui donne
doL
d'z ., , ^ /dzV ^. .d^z
= /'WbiH-/(-)T7zr^
dxdoL \dx J dx
et, substituant, dans le premier terme de la dernière.équa dz^ dot.
dz lion , à — sa valeur donnée par cette même équation, ôii
d^z aura la valeur suivante de -— au moyen de dérivées de
z par rapport à x ,
— =./(.)/' (3) (^-) 4- (/zr;
et comme ce second membre est la dérivée , par rapport à dz dx
dz
Xy de (/i)* -j-f on aura enfin
dz dx
^ ^ ' da' dx
et faisant a = o,
d'z\ d,{/xy
doi} j Q dx
Or, nous allons voir que toutes les dérivées suivautes uf z par rapport à a s'obtiennent, pour « = o, par des diiH'-
DEUXIÈME PAUTIE. — dVNaMIQUE. 63
rentiations par rapport à x , effectuées sur les différentea
puissances de/* (a:).
d^ z , Pour avoir la valeur de -7—- ? il faudrait différenlier, par
rapport à a, le second membre de T équation (3)5 et, comme l'ordre des différentiations par rapport k x ei a est indifférent , on pourra commencer par dîfférentier
(yi)* — par rapport à a, puis le résultat par rapport à x:.
Mais, pour n'avoir pas à recommencer toujours les mêmes
réductions, nous allons considérer généralement 9 (^) ~r^
en prendre la dérivée par rapport à a , et la ramener à des dérivées par rapport à x.
On aura d'abord
h^^^'iS dz dz d^z
doL ^ ^ ' d<ldx^^^ ^ dxdoL '
ixz d^ z
remettant pour — ? ■ les mêmes valeurs que précédem-
CL OL uX U CL
ment, cette expression devient
ce qui n'est autre chose que la dérivée , par rapport à j: , de dz dx
dz ^ [z] f (z) -Y* On a donc la formule générale
da dx
Au moyei^ de cette formule, on aurait déduit l'équa lion ( 3 ) de l'équation ( 2 ) , en supposant 9 ( z ) = ^ { 2 )
64 COillLS DE MiCANIQUe.
Si Ton suppose maintenant ç (z) = (yi)*, on aura
doL dx
et, par conséquent, en différentiant T^uation (3) par rapport à a , on obtiendra
d OL* dx^
d*z Supposant ensuite (f (z) = (/i)', on passera à ^j-j-? et la loi
que ces premières formules manifestent s'observera indéfiniment; car, si Ton a
en différentiant les deux membres par rapport à a, en faisant usage de l'équation (4), et en prenant (f {z) = (fz)% on obtiendra
ce qui fait voir que la loi supposée pour l'ordre n a lieu poui le suivant , et conmie elle se vérifie pour les premières dérivées, elle a lieu pour toutes; on a donc généralement la formule
Si l'on y fait a = o, on aura
dz
