i dlr

33. Passons au problème plus général dont l'objet serait le développement d'une fonction quelconque F (z), suivant les puissances de a , en supposant que z soit toujours déterminé par l'équation (i).

La formule de M aclaurin donne

/d'^¥\ g"* \t/a'" /oi.2. . .

Le premier terme n'est autre chose que F (x), puisque z devient a:, pour a = o. Reste k déterminer généralement

id^F\

\da'^ )

On aura d'abord

lI = F'(z)^ = F'(.)/(z)f.

dcf. doL ^ ^ ' dx

Pour avoir -r— 9 il faut différentier le second membre par dcr

rapport à a ^ ce qui se ramènera à des différentiations par

«"apport à X, au moyen de l'équation (4). On trouve ainsi

dcf} dx

ë6 a)UllS UF. MlÊCANIQfTB.

Celte ëquatlou conduit de même à la suivante

et ainsi de suite, en augmentant à chaque fois Texposant de f[z) d'une unité, ainsi que l'indice de la dîfféreniialion du produit entre ces parenthèses. On a donc généralement

fia'" dx"^^

Si maintenant on fait a = o dans cette formule , il faudra

dz dx

dz remplacer z par .r et -7- par i ; d'où résultera

d'»V\ ___ d'^'[r[x)[fxY]

On connaîtra donc tous les coefficients du développement de F (z) en dilTérentiant, par rapport à x^ des fonctions connues de celte variable. La formule à laquelle on parvient ainsi est

F(.) = F(.)4-ar(.)/(..) + -^'^tF(^)(A)V..

\ .2, . ,ni dx^"^

Solution du problème de Kepler.

34. Ce problème a pour objet le développement des valeurs des deux coordonnées polaires r et 6 d'uiie planète, eu fonction de la variable indépendante t. Nous le résou-

DEUXIÈME PAUTIK. — DYNAMIQUE. 67

(Irons 5 pour le cas du mouvement elliptique et dans l'hypothèse où e serait une très-petite fraction , comme cela a lieu pour la plupart des planètes : pour Torbile de la terre par exemple, on a

e =o,oi6853i8.

Nous avons obtenu entre r, 0, f et la variable auxiliaire u , les trois équations suivantes :

(8) w = /ff 4- ^sina,

(g) r = fl(i — ecostt),

(lo) tang|9= i/-î^tang|«;

elles détermineraient commodément ^ , r eiO pour une valeur quelconque de u , mais ce ne serait que par des interpolations pénibles qu& l'on pourrait connaître /* et Q pour une valeur donnée de f , et c'est pour éviter cet inconvénient qu'on a cherché à exprimer directement ces quantités en fonction de ^.

L'équation (8) rentre dans l'équation (i) en faisant dans celle-ci

On aura donc immédiatement le développement de ii suivant les puissances de e, en faisant ces substitutions dans la formule (6). On trouvera d'abord, en laissant x pour abréger,

e^ d,sin*x (^ f/'""~'.sin'"a:

/« = jc-f <?smjr-| 1-...-^ r-—-^ — -I-....