O COURS DE MÉCANIQUE

Substituant dans la valeur de -9 et remettant ni au lieu de

a:, 6n a la formule cherchée

- = I — cco^nt (QO'àint — 1) :(3cos3«^ — 3cos/?/)

(la) / — ^-(cos4«^ — cos2/?^) r3(5'cos«^ — 5.3^cos3/î^-+-5.2a)s///)

tt:, (3^ C0& 6 nt — 2* cos Lnt-\^5 cos int) — .... '

36. Expression de Vanomalie vraie en fonction du temps. — Il ne reste plus qu'à exprimer 9 en fonction de t. L'équation (lo), au moyen de transformations élégantes de M, dues à Lagrange, fera d'abord connaître 9 en fonction de sin II , sin 2 £/, etc. Remplaçant ensuite ces dernières quantités par les développements ordonnés suivant les puissances de e, on aura la solution de la question.

Substituant d'abord aux tangentes les rapports du sinus au cosinus, et à cetix-ci leurs expressions en exponentielles imaginaires, l'équation (10) deviendra, en désignant par e la base du système de logarithmes népériens.

d'où Ton tire

Posons

^i-hc-hs/i — c I + y/i — f' nous aurons

DEUXtÈUB PARTIE. DYNAMIQUE. *J %

et , prenani les logarithmes des deux membres , puis divisant

par V^^,

On peut développer les logarithmes , puisque X est plus petit que Puni té ; et si l'on remplace les exponentielles imaginaires par des sinus et cosinus, on aura enfin

0 = w H- 2 ( X sin f« 4- - «in 2 â H- 77 sin

3 w + V sin^ a -f-, . . j

Il faut maintenant substituer à u, sin z^, sin 2 u, , , , leurs développements ordonnés , par rapport aux puissances de c , d'après la formule de Lagrange. La valeur de u est déjà donnée par Téquation (ii); et sîn w s'en déduit d'après l'équation (8) , qui donne

u — ni . c .

sin u z= = sin nt H — sm 2 nt

-\ — - ( 3 sin 3 «/ — sin 71/ ) 4- ... .

On trouvera ensuite, par la formule de Lagrange,

sin 2 « = sin 7.rtt -\- e (sin Znt — sin nt) -\- c'^{ sin 4 /'^ — - sin 2 nt)

H — j-r (4 sin 71/ — 27 sin 3/2/ -4- 25 sin 5/2^)4-..., 2 • o

sin 3 /« i:r sin 3 72/ H — (Zûxx^nt — 3 sin 2 nt ]

H — -(i 5 sin 5 72/ — 18 sin 3 71/ 4- 3 sin 72^)

-4- ^ (9sin6/î/ — 12 sin 4^2/ -f- 3 sin 2 7î7)-f-.-..

Il ne reste plus qu'à développer les puissances de X suivant celles de c?.

n2 COUES DB MECANIQUE.

Pour cela , posons

I H- v^i — <?» = E; d'où

nous pourrons développer E"'', suivant les puissances de eS au moyen de la formule (7) , dans laquelle il faudra sup* poser

On aura ainsi

et , comme ou a

X = cE-, on aura

Substituant aux diverses puissances de X les valeurs résoîlant de celte formule, ou aura^ en négligeant les puissances de e supérieures à la sixième,

^ riz nt -^ [le — -7^'\ — tt cM sin /if

/5 , II . 17 A . /i3 , 43 A . , ,

ri3) / ^^ ^^ '^"^ ' ^^^ ^ ^

^ ^ ^ /io3 ^ 45i \ . ,

H- ( — ^ c' — -73- <?« ) sin 4 'ï^ \96 4^0 /

H —^ fî* sin 5 «/ H TT— «? sm o nt ,