DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. HQ

troduiteâ par l'intégration des in — k équations différentielles seront an nombre deôn — 2 7c ; et on les détermineraf par les données de l'état initial, c'est-à-dire au moyen des positions de tous les points , ainsi que des grandeurs et des directions de leur vitesse, à un certain instant, qu'on prendra pour origine des temps. Ces positions initiales ne sont pas entièrement arbitraires, parce que leurs coordonnées doivent satisfaire aux k équations données : de sorte qu'on ne peut se donner arbitrairement que in — kde ces coordonnées. De même aussi, les composantes de leurs vitesses doivent satisfaire aux k équations qu'on obtient entre

-T-î -y-v? en différentiant les k équations données; d'où

il suit qu'on ne pourra se donner arbitrairement que in — k composantes des vitesses initiales. Ainsi, pour que l'état initial soit entièrement déterminé, ce qui est indispensable, il faut que l'on se donne 6n — 2 A quantités, qui peuvent être choisies tout à fait arbitrairement; mais on ne peut pas s'en donner davantage.

Cela posé, quand on aura intégré le système des équations différentielles , on aura , pour déterminer toutes les coordonnées des n points, d'abord les k équations données, et ensuite ifi — k équations, renfermant 6n — nk constantes arbitraires. Ces in — k équations devant être satisfaites à chaque instant, on y fera « = o, et on remplacera les coordonnées par leurs valeurs initiales : il en résultera' in — k équations entre les constantes et des quantités connues; les k équations restantes seront nécessairement satisfaites, puisque l'on a dû choisir les coordonnées initiales, de telle sorte que les liaisons exigées eussent lieu. Différentiant ensuite les i n — k équations entre les coordonnées , on en aura un égal nombre entre les composantes des vitesses; et si Ton y substitue les valeurs initiales des coordonnées et de ces composantes, on aui*a in — À nou-

8o COURS DE MECANIQUE.

velles équations entre les constantes arbitraires et des quantités connues. On aura donc enfin 6n — 2 Al équations pour déterminer les 6n — 2 A constantes. On en pourra donc tirer les valeurs de ces inconnues , et les coordonnées de tous les points du système seront complètement déterminées en fonction du temps.

Ce que ton entend par forces instantanées. Leur mesure. Détermination du mouvement quelles produisent. Superposition de leurs effets.

42. Nous avons démontré, dans le n^ 260, tomel, qu'une force constante pouvait être mesurée par la quantité de mouvement qu'elle a produite, divisée par le temps employé à la produire \ d'où il résulte que pour produire une quantité de mouvement déterminée, il faut que la durée de l'action soit d'autant moindre que la force employée est plus grande , mais qu'il n'y a aucune force qui puisse y parvenir sans employer un certain temps. Néanmoins, si l'effet est produit dans un temps si court , que rien n'ait pu changer sensiblement dans les positions des points, on pourra , dans la plupart des cas, faire abstraction de ce temps ; et pour indiquer cela , nous donnerons à la force le nom de force instantanée.

Pour mesurer, soit la valeur constante d'une pareille force, soit sa valeur moyenne, si elle est variable, on pourrait la rapporter à l'unité ordinaire, et l'on aurait pour mesure la quantité de mouvement produite, divisée par la durée de l'action. Mais cette durée n'étant pas appréciable, au moins dans le cas où il peut y avoir quelque utilité à considérer ce genre de force, il vaut mieux ne pas l'introduire dans la mesure, et se borner à la quantité de mouvement. On supposera alors à l'action la durée que l'on voudra, pourvu qu'elle soit extrêmement petite*, les

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effets n'en dépendront nullement, comme nous allons le faire voir, en donnant le moyen de les calculer. Ainsi nous mesurerons une force instantanée par la quan*tité de mouvement qu^elle produit en agissant sur un point matériel libre en repos. Et comme la décomposition des forces se fait de la même manière que celle des vi^ tesses, il s'ensuit que les composantes d'une force iustan*tanée, prises parallèlement à des directions données d'après les mêmes règles que pour les forces continues, ne sont autre chose que les forces instantanées qui correspon^draient aux composantes de la vitesse totale suivant les mêmes directions.

Enfin, comme les composantes de la vitesse d^un point matériel, parallèles à trois axes fixes , se trouvent augmentées par Faction de forces quelconques de la même manière que si la vitesse initiale était nulle, il s'ensuit que les composantes de la force instantanée qui agit sur un point matériel en mouvement, sont mesurées par les quantités de mouvement correspondantes aux accroissements des composantes de la vitesse de ce point.

43. Pour déterminer l'effet de forces instantanées sur un système quelconque déjà en mouvement, appliquons Féquation (i) à ces forces, en négligeant toutes les autres qui ne peuvent produire aucun effet appréciable pendant la durée totale 6 de ces actions, dont les unes peuvent cesser avant les autres. Les valeurs de x, y, z^ x',... peuvent être regardées comme invariables pendant ce temps ; et il est facile de voir qu'il en est de même de dx^ dy^ ^-z, . . . . En efiet, ces variations satisfont aux équations différentielles de L = o, M = o,..., dans lesquelles t est considéré comme une constante. Or, cette constante ne changeant qu'infiniment peu, dans Tintervalle de temps que l'on II. 6

fh COU&S DE MÊCAlflQUK.

considère, les quantités âx, ày^... ne peuvent changer que de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes , et doivent par conséquent être considérées comme invariables. Intégrons maintenant l'équation (i) par rapport à f , en prenant pour limites le commencement et la fin de rintervalle B\ désignons par mX, m Y, mZ les compo* «antea de la force appliquée au point dont la masse est m;

et par A -^, A -^i A 4 ks intégrales de —^ dt.-r^dt. ^ dt de de ° dt* ^ dt^ ^

iPz , . , . j , , dx

-T-^ dtj qui sont les accroissements des quantités -yf

d '^ dz

-^» -7-? nous obtiendrons ainsi Téquation

ml . .1 =0.

Or, la force appliquée à la masse m ayant pour composantes mXf mY, mZ, les intégrales mflLdl , m/Ydl, mfZtdt sont les composantes de la quantité de mouvement que produirait cette force dans le temps d, et, pr conséquent , les composantes de la force instantanée y d'après le sens que nous attachons à cette dénomination. Si on les représente par Xi, Y], Xj, l'équation précédente devient

(3) XI ^ *^ \ ':l 1=0.

Mais si la masse m était libre , les composantes de I« force instantanée qui changerait les composantes de M