DEUXIÈME PARTIE. DYNAMIQUE. 9I

Cette équation a lieu pour tous les points du fil. Si on la multiplie par une indéterminée X qui varie d'un point à l'autre , que Ton fasse ensuite la somme de cette équation et de la première, on aura

-f-X,^:r, + Y, 5/, + Z,5z, 4-X,5jr, 4- Y,é/, -h Zj^z, = o.

Si Ton intègre par parties les termes de la seconde intégrale qui a les mêmes limites que la première, elle devient

^ l dx ^ dy ^ dz ^ \

— lUxd.\-^--{'^yd.\^'\'8zd.\-j\'

Si l'on réunit les termes soumis au signe y*, on devra égaler à zéro les coefficients des quantités dx^ ây^ âz'^ et les termes qui ne sont soumis à aucune intégration et qui se rapportent aux deux limites, devront se détruire entre eux.

On aura donc d'abord les trois équations suivantes pour un point quelconque du fil :

(X — g — r- 1 ds — rt.À -- =:0,

\ dt^ J ds '

d^z\ dz

Z — 6 —7-7 ) ds — rf.X — = o, dt^ ds ^

et si les deux extrémités sont indépendantes l'une de Tau-

9^ COUftS DE MÉCANIQUE.

ire , on aura les deux équations

X, Sxt -+- Y, 9xi •+■ Zi 9zi

Xa ^x, -h Y, ^J, 4- Z, ^z.

Les équations (i) sont les mêmes que si un élément quelconque ds , au lieu d^être lié aux autres, était sollicité par une force ayant pour composantes

d J\ — r-î dj\ -7-5 O.X -— j

ds ds ds

ou encore par des forces tangentes à ses deux extrémités» et ayant pour composantes

^dx ^ djr ^ dz

ds ds ds

à la première extrémité, et

à la seconde. L'effet de la liaison des éléments du fil est donc de produire en chaque point une tension exprimée par — A.

Si Ton élimine X entre les trois équations (1), on aura deux équations entre x,j^, z, f, qui détermineront à chaque instant la position de tous les points du fil.

Quant aux équations (;s), on commencera par réduire au plus petit nombre possible les variations qui y entrent, et Ton égalera il zéro leurs coefficients respectifs. On aura ainsi les équations qui détermineront à chaque instant la position des extrémités et les quantités arbitraires întrQr

DEUXIÈME PAâtIE. — DfTlfAMIQUB. ^3

duitespar rintëgration, en y joignant déplus le» conditions relatives à Tétat initial et à la longueur du fil.

Si les forces appliquées aux extrémités sont nulles, et que ces extrémités soient mobiles , on ne pourra satisfaire aux équations (2) qu'en posant X| = 0,^2 = o, ce qui apprend que les tensions extrêmes seront constamment nulles.

U faut excepter le cas très*particulier où le fil serait constamment perpendiculaire h la ligne ou à la surface sur laquelle une de ses extrémités serait assujettie a se mouvoir ] on aurait alors, à cette extrémité,

dxi ^jf, -h djr^ SjTi -f- dzi ^«, = o,

et il ne serait plus nécessaire qu'on eût Xj = o. II en serait de même pour l'autre extrémité.

Si les extrémités sont fixes, les équations (2) sont satisfaites d'elles-mêmes. Mais alois on connaît Xi, j^i , Zi, ^s^Xs? ^<) ^^ ^'^^ devra exprimer que les équations de la courbe sont satisfaites par ces valeurs , quel que soit f , ce qui contribuera à déterminer les quantités arbitraires.

49. On pourrait obtenir directement les équations pré*cédentes. En effet, si Ton désigne par T la tension en un point quelconque, Télément ds sera sollicité par des forces dont les composantes totales parallèles aux axes seront

dx dv dz

Xds-hd.T-j-, Yds-^dT4.j z^/5-f-rf.T--,

ds ds ds

et le principe de d'Alembert appliqué à cet élément donnera

/ d^x\ dx

ds-^ c/.T3^ = o, as

^ 2;\ , , ^dz

dt^ / ds '

g4 coons DE mécanique.

équations qui ne diilêrcnt des équations (i) que par le changement de — X en T.

 chacun des points extrêmes du fil il devra y avoir équi* libre entie toutes les forces qui le sollicitent, en y comprenant la tension *, car un point géométrique sollicité par une force quelconque acquerrait , dans un temps fini quelconque, une vitesse infinie. Delà résulteraient des équations identiques aux équations ( 2 ) .

50. Considérons le cas particulier d'un fil dont l'extrémité A [fig- 6) est fixe, et qui passe en un autre point fixe B, sur lequel il peut glisser, et qui est à une distance /de A. Son prolongement est vertical et soutient un poids T qui mesure la tension du fil en un point quelconque, dans sa position d'équilibre, qui est la droite A6, si Ton suppose que les forces X , Y, Z soient nulles. Prenons la ligne AB pour axe des x, et le point A pour origine.

Gela posé, si Y on écarte infiniment peu le fil delà droite AB, en supposant que les tangentes aux différents points de la courbe qu'il affectera fassent des angles infiniment petits avec AB , il se trouvera allongé d'une quantité infiniment petite du second ordre, que l'on pourra négliger. Si l'on abandonne ensuite chaque point à lui-même, en lui imprimant une certaine vitesse initiale, on peut déterminer le mouvement qui en résultera.

D'abord il suit de l'hypothèse relative à la position initiale, qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre, chaque point se mouvra dans un plan perpendiculaire à AB , et par conséquent le point du fil qui était primitivement en B pourra être considéré comme immobile. Donc X sera constant pour le point qui correspond à une valeur quelconque de l'arc s^ et Ton a

d^x . ^ dx

= Q, et, par suite, d,\ — = o.

dt' ' ' ' ' ds

OEUXIÈME PARTIE. •— DYNAMIQUE. gS

Mais on a — =i i, en négligeant les infiniment petits du

second ordres donc <i.i = o, ou X = c, ce qui apprend que la tension ne varie pas et est constamment égale au poids T.

Les deux dernières équations .(i) deviennent, en remplaçant s par x^ ce qui est permis , d'après ce que nous avons dit ,

dy T d'y ^' « T ^^'« "dF "" 1 'dJc^^ 'W^ldx^'

Si l'on suppose , pour plus de simplicité, que la figure initiale du fil soit renfermée dans un même plan , dans lequel on prendra Taxe des y, on n'aura plus à considérer que l'équation unique

d^X T d^ dt^ e dx^

dont l'intégrale est

F et/* désignant dés fonctions arbitraires qui se détermineront d'après les positions et les vitesses initiales de tous les points du fil. Si Ja figure initiale du fil est exprimée, erïtre A et B, par l'équation j^ = ç (x), et si la vitesse initiale du point dont l'abscisse est x a pour expression ^ (a:), il faudra

dy

que l'équation (3.) donne j^=(p [x) et -j- == ^p (a:) pour t = o, ee qui conduit aux équations

d'où l'on déduira facilement F [x) et / (x) , au moyen de

?(4et<|'.(')-

g6 COURS DB MÉCANIQUE.

Mais CCS dernières n^étant données que pour les valeurs de la variable, comprises entre o et /, il en serait de même des fonctions F ety^ de sorte que^^ne serait pas connu pour toutes les valeurs de t. Nous verrons plus tard comment les conditions relatives aux extrémités permettent de déterminer les fonctions f et ^ pour toute valeur de la variable. Ces discussions, toutes spéciales, nous écarteraient de notre objet.