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efi ■ COtTRS DE MliiCANIQUï.

relalwement à trois axes mobiles y sera identique à un mour i^cment absolu quon déterminera de la manière suivante par rapport à des axes fixes : On fera partir le système d'un état initial identique à Vétat relatif initial ^ on appU» quera d'abord en chaque point des forces dont l^s eompo^ santés seront exprimées par les mêmes fonctions du temps et des nouvelles coordonnées absolues y que les forces don^ nées le sont au moyen des coerdoni^ées relatives; on r joindra les forces ficti^^es telles qu'elles ont été déterminées dans le cas d'un point libre : enfin^ les points seront assu'^ jettis à conserver les distances données les uns m^clesath tmSy et à se mouvoir sur des surfaces ou des courbes ayant pour équations, par rapport aux axes fixes, les équations données exprimées en coordonnées relatives aux axes mobiles.

34: Cas général. — Les ccmditîoDS que nous veiu»» d^examiner sont celles qui se rencontrent le plus ordinairement. C'est pour cela seulement que nous les avons présentées en premier lieu , car nous aurions pu commencer pr le cas, tout à fait générât, dont nous allons maintenant nous occuper.

Supposons que les liaisons du système soient exprimées par des équations renfermant te temps et les coordonnée» absolues x, y^ z^ od^ y^ z\ od\ y\ z"^... d'un nombre

quelconque de points, M, M', ftF, Nous avons dém(»i-

tré que le mouvement absolu sera le mènie que si Ton sap . primait les liaisons et que Ton introduisit en chaque point des forces déterminées par les équations qui expriment œi liaisons. Ces forces , pour un point quelconque M ayant pour coordonnées x^ y^ z par rapport à un système qnel' conque d'axes , sont normales aux différentes surfaces qw Ton obtient à l'instant que Ton considère, en considérant X ^ y^ z comme seules variables dans toutes les équations

OStnLliMS PARTIS, -«— DYNAMIQUE. QQ

OÙ elles entrent ; et les valeurs des composantes de ces forces, parallèlenient anx x^ y^ z, sont les ^produits des dénvëés partielles de ees équations , relativement à jr, j^ z-^ par un facteur commun qui n'est pas donné, et qui est le même pour toutes les dériv^ées provenant de la inème équatiiofei) en sorte qu'il y a autant de ces inconnues qu'il y a d'équa^ tions -, et qu'il est possible , par conséquent , de déterminer^ non- seulement les coordonnées de tous les points à chaque instant, mais encore les grandeurs et les directions des forces qui pourraient être substituées aux liaisons , et permettre ainsi de considérer tous les points comme entièrement libres.

Tout cela étant . rappelé , il est clair que si nous concevons introduites ces forces qui remplacent les liaisons, nous retombons dans le premier cas; et le mouvement relatif cherché coïncide avec un mouvement absolu dans lequel ces mêmes forces seraient ajoutées aux proposées et aux forces fictives qui se rapportent au mouvement relatif d'un point libre. Mais comme les forces provenant des liaisons renferment des inconnues nouvelles en nombre égal à celui des équations données, il faudra employer ces équations à leur détermination, afin d^avqîr en tout autant d'équations que d'inconnues.

Observons maintenant que si , dans toutes ces équations où nous avons supposé qu'il n'entrait que des coordonnées absolues, on remplace celles-ci par les coordonnées relatives, au moyen des formules ordinaires de la transformation des coordonnées , rien ne sera changé dans les conditions des liaisons. Or, à un instant quelconque, on peux supposer qu'on prenne pour axes de coordonnées trois droites coïncidant avec les axes mobiles dans la position qu'ils occupent à cet instant. Les équations de liaison seront les équations proposées exprimées au moyen des coordonnées relatives. Les forces à introduire auront leurs compo-

roo COURS DE MickmqoE.

santés suivant ces aixes, représentées par les dérivées^ partielles des équations p|^r rapport aux coordonnées rdativeS) multipliées par des facteurs communs en mèn^e nombre qae ces équations , comme nous Tavons rappelé en détail tout àrT^ure. D'où Ton conclut la proposition suivante :

Le mous^ment relatif dun sy^stème de points , liés par des équations quelconqixes entre le temps et les cooT" données de ces points par rapport aux axes mobiles^ esi identique à un mouvement absolu du même système ^ en supposant : i^ qu'il parte duti état initial identique à tétat relatif initial ; %^ quUlsoit soumis à V action des forces dont les composantes sont exprimées par les mêmes fonctions des coordonnées des points, que celles des forces données le sont au moyen des coordonnées relatives^ y qaon y joigne les forces fictii^es^ 4° ^* ^^ supposant enfin h systènte assujetti à des liaisons exprimées par des équatiofis renfermant les coordonnées actuelles de la même manière que les équations données renferment les coor^ données relatii^es.