DEUXIÈME PARTIE. — DTNAMIQUE. Io
aurions pu nous passer au moyen du raisonnement précëdent, mais que nous aurions pu aussi poser les premières^ en partant de Tétat inilial, avant de considéi^r les états 8id>5équents du système.
Si le système renfermait des points , des lignes ou des surfaces fixes, on pourrait le considérer comme libre, en introduisant les forces qui résulteraient de ces conditions; et le théorème précédent subsisterait bien encore : mais il faudrait ainsi avoir égard à des forces qui ne sont pas données , et qui ne seront connues que quand le mouvement sera déterminé,
57. Il résulte de là que si aucune force extérieure n'est appliquée au système, et, plus généralement, si les forces qui y sont appliquées se détruisent quand ou les transporte en un même point, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme. Sa direction est donc celle de sa vitesse initiale, et, p^r conséquent, de la résultante des forces instantanées qui ojit mis le système en mouvement y ou encore, des forces instantanées qui lui donneraient, à un instant quelconque, le mouvement dont il est . ^nimé*
Lorsque les points du système exerceront les uns sur les autres des actions réciproques, égales et contraires, continues ou instantanées, le mouvement du centre de gravité n'en sera pas altéré, puisque ces forces, transportées en oe point, s'y détruiraient deux a deux. Ainsi des chocs, ou des liaisons subites établies entre, plusieurs corps du système, ou encore des explosions intérieures , produisant nécessai-> rement des actions égales et contraires, ne sauraient modi- ^er en rien le mouvement du centre de gravité» C'est en cela que consiste le principe de la consen'ation du niouy^enient 4ù centre de granité»
11 est essentiel d'observer que toutes les propositions pré-
106 COUâS DE MECANIQUE.
cédeutcs sont indépendantes de la nalure des forces et des lois de leur action.
58. Principe de la conse/vaiion des moments. — Considérons maintenant les trois dernières équations d'équilibre, qui expriment que les sommes des moments des forces
X — m-j^, Y — m—, Z — m— , etc., par rapport
aux trois axes, sont nulles. Ces équations sont
et peuvent se mettre sous la forme
) / rf'x d*z\
Ces équations ont lieu à chaque instant du mouvement; elles expriment que les sommes des mojnents des forces données , par rapport aux trois axes , sont égales à celles des moments des forces qui produiraient sur les points libres le mouvement qui a lieu.
Nous nous occuperons particulièrement du cas où les seconds membres des équations (i) sont nuls. Cela aura lieu d^abord si les forces X, Y, Z, .. sont toutes nulles, c'est-à-dire si le système qui a été mis en inouvement est abandonné a lui-même, sans aucune action étrangère.
DEUXlKBtE PA&TIE. — DYNAMIQUE. IO7
Cela aura lieu encore si les poiuls sont soumis à des actions qui seraient en équilibre sur le système rendu rigide \ car ces seconds membres sont les sommes des momenls des forces par rapport aux axes, et ces sommes sont nuUes si les forces sont en équilibre. Cela comprend le cas d'actions mutuelles égales et de sens contraires, et, par conséquent, de chocs quelconques entre les diverses parties du système.
Ejifin, ces seconds membres sont encore nuls si toutes les forces appliquées aux divers points du système passent par un même point, choisi pour origine des coordonnées. En effet, les composantes X, Y, Z d'une quelconque d'entre elles étant proportionnées aux coordonnées du point d'application , on aura
yZ — sY = o, 2X — jrZ=:o, xY — /X = o.
On voit même qu'il suffirait que les forces eussent une résultante passant par Torigine. De sorte que les seconds membres des équations (i) seront nuls toutes les fois que les forces seraient en équilibre sur le système rendu rigide, et lié au point fixe qui a été pris pour origine.
Le cas dont nous allons nous occuper a donc encore une assez grande généralité.
Les équations (i) deviennent, dans cette supposition,
Ini [x —z r -r— 1 = o ;
\ dt' -^ dt' ) *
î|Ltégrant par rapport à ^, et représentant par c, c', c'' trois
I08 COVBS DE MÉCAMIQDB.
coiislautcs , on obliendra
/ / dz dr\
.-, f dx dz\ ,
dy dx
\ \ dt -^ dt '
ff
Les premiers membres de ces équations sont les sontmes des moments, par rapport aux axes, des forces dont les composantes seraient exprimées pour chaque point par
/«— -, m-r-j m — 9 c'est-à-dire des forces instantanées , de dt dt
qui produiraient sur chaque point libre, et partant dn
repos, le mouvement dont il est animé. ^
Ainsi , les équations (3) expriment que les sommes des moments des quantités de moui^ement qui animent le système à un moment quelconque^ estimées par rapport à trois axes rectangulaires, sont constantes; et que, par conséquent , // en est de même par rapport à toute direct tion. Ou, en d'autres termes, si, à un instant quelconque, on considère les forces instantanées qui produiraient sur chaque point libre, et, partant du repos, le mouvement dont il est animé ^ que Ton décompose chacune de ces forces en trois autres , dirigées suivant les axes des coordonnées, et en trois couples, ayant ces mêmes directions pour axesj la somme des moments des couples dans chacune de ces directions sera constante; et, par suite, Taxe du couple résultant sera constant en grandeur et en direction.
C'est en cela que consiste le principe de la conservatiott des moments. Il subsiste, quelles que soient les actions mutuelles qui viennent à naiti'e entre des points du système, comme par exemple si deux points étaient liés subitement Tua à Tautre, si une partie du système, d'abord gazeuse,
DEIJXiiltE PAKTIC. — DTlfAMIQUE. IO9
devenait liquide, puis solide, pourvu que cela s'opérât par des actions , deux à deux , égales et contraires ; ou encore si le changement de température des différents points d'un système changeait leurs actions mutuelles, et, par suite, leurs dislances. Ces diverses circonstances se présentent dans le système du monde.
Il est inutile de rappeler que les sommes des moments seraient les mêmes pour tout système de forces instantanées, produisant le même mouvement, puisque, d'après le principe de d'Alembert , ce dernier système serai t en équilibre, avec l'autre pris en sens contraire.
59. Il résulte de ce qui précède que si, à un instant quelconque , on considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les difTérciits points du sys-i tème, et qu'on les compose comme si elles étaient appli- . quées à un système rigide, on trouvera toujours la même . résultante et le même couple résultant, par rapport- à une même origine.
Si Ton applique à ces forces les propositions qui ont été établies dans la Statique relativement i la réduction d'mi système quelconque de forces , on obtiendra les conséquences suivantes :
Lorsqu'un système libre quelconque est sollicité par des forces qui se détruiraient mutuellement s'il devenait . rigide,
La somme des forces représentées par les quantités de mouvement de ses différents points, estimées dans une même direction, est constante.
Le centre de gravité du système se meut parallèlement à la résultante des quantités de mouvement, transportées en un même point.
La somme des moments de ces quantités de mouvement ^ par rapport à une même droite est constante*
IIO COUaS DE MKGAUrTQUEv
Si Ton considère ces moments par rapport à toutes les droites qui passent par un même point de Pespace^ celle pour laquelle la somme est la plus grande en invariaUe ï c'est Taxe du couple résultant des quantités de mourement, relatif à cette origine. Cette direction, ainsi que k. valeur du moment total correspondant, sont les mêmes pour tous les points de la parallèle à la résultante , menée par ce même point. La direction peut être la même, sans que le moment soit le même, dans le seul cas où les forces représentées par les quantités de mouvement sont réductibles à une force unique. Dans ce cas, tous les points dtt plan mené par celte force et le point qUe Ton considère, donneront une même direction pour Taxe du moment maximum; mais le moment ne sera le même en grandeur et en direction que pour les points d'une même parallèle i la résultante.
Il existe un axe central unique, parallèle à la résultante, et tel que pour tous ses points sa direction est celle de l'axe du moment maximum^ et ce moment est moindre que le maximum relatif à tout autre point de Tespacc. Il se détermine facilement dès qu'on connaît la résultante et le couple résultant relatif à une origine donnée. Dans le cas où le système des forces représentées par les quantité de mouvement est réductible à une force unique, la droite suivant laquelle elle agit est l'axe central.
. ConsefVation des moments dans le moui^ement relatif.— Supposons maintenant que les axes auxquels on rapporte la position des points, se meuvent en restant parallèles à eux-mêmes, le mouvement relatif sera identique au mouvement absolu qu on obtiendrait en partant d'un étal initial identique à l'état relatif initial, et introduisant les forces fictives, déterminées précédemment. Dans le cas actuel, où les axes n'ont qu'un mouvement de
* DEUXIÈME PAKTIE. — DYHAMIQDE. 1 II
translation, les forces fictives se réduiront, pour chaque point du système, à une force accélératrice égale, parallèle, et de sens contraire à celle qui donnerait à un point matériel libre le mouvement que suit l'origine des axes mobiles.
Lorsque ces forces réunies aux forces données seront en équilibre sur le système rigide , ou donneront une résultante passant constamment par l'origine mobile, le principe de la conservation des moments aura lieu dans le mouv^nent relatif.
. Supposons toujours que les forces données soient en équilibre sur le système rigide. Il sera nécessaire alors que les forces fictives, soient en équilibre sur ce même systèine , ou bien qu*elles donnent une résultante qui passe constamment ' par Torigine mobile.
Or, ces forces se composent en une seule, appliquée au centre de gravité du système, parallèle et de sens contraire à la force accélératrice qui produirait le mouvement de Tori- ^ne y et égale au produit de cette force par la masse du système. 11 est donc nécessaire et suffisant que cette dernière force soit nulle, pour que les autres soient en équilibre. Dans ce cas, Forigine a un mouvement rectiligne uniforme, entièrement arbitraire. On obtient ainsi la proposition suivante:
Lorsque les forces appliquées à un système libre s^y détruisent lorsqu il devient ngidcy le principe delà conseiva-' tion des moments a lieu dans le mom'ement relatif à tout système d^axes qui se m.euvent parallèlement à euxmêmes y de manière que leur point de rencontre ait un mouvement quelconque rectiligne et uniforme.
Le centre de gravité du système ayant, d'après l'hypothèse , un mouvement recliligne uniforme, il s'ensuit que le principealieupourun systèmcd'axés dedirectionsconstantes
- 112 .GODftft DE XÈCAKIQint. * '
et dont l'origine coïncide constamment avec le centre Ad gravité du système.
Le même principe aura encore lieu lorsque la résn]-" tante des forces fictives, au lieu d'être nulle, passera constamment par Torigine; ce qui exige que la droi;te mçnée par le centre de gravité du système, parallèlement à la force accélératrice dé Toriginè^ passe toujours par cette origine même.
On peut donc énoncer cette seconde proposition :
Le principe de la conservation des moments a lieu , dans le mouvement relatif , lorsque les axes se déplacent parallèlement à eux-mêmes y et que la fore fi qui produirait le nioui^ement de l'origine passe constanunent par le centre de grav^ité du système.
Ce principe a donc lieu dans le cas particulier où rori-' gine a un moui^ement arbitraire sur la dœite que décrit le centre de gravité.
Cette dernière proj)osiûon renferme, conime cas très* particulier, une des précédentes, où Ton supposait que l'origine était au centre de gravité lui-mèmQ. • On peut remarquer que le principe démontré dans ce numéro renferme celui du numéro précédent. Il suffit, pour l'obtenir, de supposer nulle la force dirigée vers le centre de gravité.
60. Cas où le moment a la même 'valeur que si l'origine était immobile, — Les deux propositions précédentes se rapportent seulement à l'invariabilité des moments relatifs; mais on pourrait ajouter encore la condition que ces moments fussent les mêmes que si l'origine restait en repos. Voyons s'il est possible d'y satisfaire.
Prenons pour axes fixes des x^j^ 2. une des positions des axes mobiles 5 soient a , 6 , 7 les coordonnées de l'origine mobile , à une époque quelconque. La somme des moments,
OBUXliliE I^AETIE. — DTTTAMIQUK. tl3
par rapport à Taxe des Xy sera
/ X ' [ dz dr\
{a) :,m[^rj^-z-y
La somme des moments relatifs à l'axe mobile parallèle aii précédent sera
On aura de même les moments relatifs aiiï deux autres axes, fixes ou mobiles.
Or, si l'on désigne par X|, j^i, Zx les coordonnées du centre de gravité , et par M la masse totale du système, la . diflërence des expressions [a) et (&) se réduit à
Il sWsuit que pour que les deux expressions (a) et (^) soient égales , il faut que Ton ait
rfe </V dr, ^dt, ^d-i d^
'^Tt-^^Tt'^^Tr^'di'^^Tt-'^di^''''
Or, on satisfera d'une manière particulière à cette équation en posant séparément
</6 d*>È dy^ dit dy d^
OU
yr.zx :: d^idy, 6: 7 :: dy, \dz,, 6:7 :: d^idy.
En faisant de même pour les deux autres axes , on voit qu'on satisfera à toutes les coiiditions en posant
a : 6 :-7 :: da : d^ :dy :: dx^ : dy, : «fe, :: x, :/, : z., II. 8
I>r4 COUKS DE Mi^ANIQUÊ.
ce qui exige seulement que le centre de gravité etl'origiiie ' se meuvent sur une même droite passant par le point cpii a été pris pour origine fixe.
On obtient ainsi la proposition suivante :
Lorsque V origine se meut d^une manière quelconque sur la droite décrite par le centre de grai^ité du système y les moments relatifs ont la même "valeur que si cette origine restait fixe.
On en déduit , comme ea» particulicF, cette antre pn^KH aition :
Les moments relatifs à des axes de directions constantes qui se meui^ent et se coupent au centre de gravité y sontlef mêmes que si ces axes restaient immobiles* dans une àud' conque de leurs positions,
61. Conservation des aires. — Les équation» (3) peu^ ▼ent être envisagées sous un autre point de vue , et démontrent une propriété géométrique remarquable du mouve^ ment en question. En effet, si Ton considère Taire conique décrite par le rayon vecteur mené de l'origine au point dont les coordonnées sont x^y^ z, elle se projette sur les plans ^coordonnés suivaiif les aires décrites par les projections de ce rayon ^ et dont nous allons calculer les expressions.
Soit 6 Tangle formé avec Taxe des y positifs par la projection r du jrayon vecteur sur le plan YZ, et qui tourne de Taxe des y positifs vers l'axe dés z positifs, ce qui est le sens direct par rapport à Taxe des x positifs; on aura
tang 6 = -9 les signes de toutes les quantités étant pris dir
la manière ordinaire.
On tire de cette équation
dB ydz — zdy
cos* ^ j' '
DEtJ\lillB PAtlTtE. — DYNAMIQUE. Il5
el comme / -.= r<î08 0) on aura
Donc ydz — zdjr est le double de la difTérentielle de Taire décrite par le rayon r; elle est de même signe que r/9, et^ par conséquent, positive quand le mouvement est direct ^ et négative quand il est rétrograde.
Or, si l'axe de l'aire plane infiniment petite, décrite dans l'espace, fait un angle aigu avec Taxe des x, la projection du rayon vecteur sur le plan YZ aura un mouvement direct; et si l'angle est ol>tus, ce mouvement sera rétrograde : donc j^ Jz — zdy est égal, en grandeur et en signe, au double de l'aire infiniment petite décrite dans Tespace, multipliée par le cosinus de l'angle formé par Taxe de cette aire avec Taxe des x positifs.
Cela posé, si Von désigne par X, X', X''^ les sommes des aires décrites par les projections des rayons vecteurs sur les plans coordonnés , et multipliées chacuhe par la masse du point correspondant, les équations (3) pourront être mises sous la forme
dl dV , ^^"__ ./
d'où
en comptant les aires à partir de f = o.
Ainsi , lorsque les points d'un système libre ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, ce qui comprend les chocs entre les divers points du système , et, plus généralement , lorsqu'ils sont soumis à des forces qui seraient en équilibre sur le système devenu rigide, et lié invariablement à l'origine , ce qui comprend le cas de forces quelconques dirigéei» vers l'origine; la somme des projections des aires décrites par les rayons vecteurs de tous les points, multipliées res-
ir6 COURS DK M£C4iaQirC.
pectivement par les masses de ces poin ts,* est proportion" nelle au temps , pourvu que Ton regarde comme positives les aires décrites d'un mouvement direct, et comme négatives celles qui sont décrites d'un mouvement rétrograde. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires. On voit qu'il ne difi%re que par la forme du prio-
cipe de la conservation des moments.
62. S'il y avait deux centres d'action, lors même que l'un d'eux serait pris pour origine, les seconds membres des équations (i) ne seraient plus nuls. Mais Fun d'eux disparaîtra si l'on prend pour axe des z la droite qui passe par les deux centres fixes \ car on aura
x:Y::j?:/, ou a:Y — jX=:o.
Donc 7 dans ce cas , le principe a lieu seulement pour les projections sur un plan perpendiculaire à la , droite qui joint les deux centres d'actions, et les couples provenant des quantités de mouvement du système, décomposés suivant les trois axes , donneraient un couple constant suivant Taxe qui passe par ces deux points.
63. Plan im^ariable. — Si Ton cherche le plan sur lequel la somme des projections des aires multipliées par les masses est la plus grande, on trouve, d'après les théorèmes démontrés dans les préliminaires , que les cosinus des angles p^ y, r, que la direction de son axe forme avec les axes de coordonnées , sont
COS p z
COS q
COS r =
