DEUXIEME PARTIE. — DYNAMIQUE. Il

OU

COSp =z —5

COS q =

COS r r=

tfçi i o'ï J ^f^7

La direction de ce plan est donc indépendante du temps, el Laplace, qui Ta reconnu le premier, lui adonné le nom de plan invariable^ Les équations ( 3 ) montrent qu'on pourra le déterminer si, à un certain instant, on connaît les masses des diâerents points du système, leurs positions et les composantes de leurs vitesses. Les actions mutuelles des points, et les chocs qui peuvent survenir entre eux né changent pas la direction du plan invariable, puisque les seconds membres des équations ne cessent pas d'être nuls. H en est de même s'il y a un centre fixe d'action ou un point fixe, pourvu qu'on le prenne pour origine.

On voit que ce plan n'est autre chose que celui du couple résultant des quantités de mouvement, cl toutes les" propositions qui ont été établies pour ce dernier s'appliqueront identiquement à Fautre. Nous nous dispenserons de les rappeler.

64- ^application au système du monde. — En considérant le soleil , les planètes et leurs satellites comme soUici-. tes seulement par leurs actions mutuelles, le centre de gravité de ce système se meut uniformément en ligne droite avec un(B vitesse qui dépend de celles qui ont été imprimées à tous ces corps, lorsqu'ils ont été abandonnés à euxmêmes. Comme nous ne connaissons aucun point fixe , si nous voulons prendre une, origine des aires qui donne pour le plan du maximum des aires une direction invar

Il8 COOBS DE MiCAinQUB,

Fiable, il faut choisir un point qui se meuve parallèlement à la droite que décrit le centre de gravite ] et comme cette droite n'est pas connue, il faudra choisir le centre de gra-< vite lui-même. Le plan du couple résultant des quantités de mouvement relatives , ou , en d'autres termes , celui du maximum des aires relatives, pourra se déterminer à une époque quelconque; et comme il sera toujours le même, si Ton y rapporte tous les points du système, il pourra servir i comparer les observations^astronomiques faites, aux époques les plus éloignées.

11 est bon de remarquer que ce plan , étant indépendant de la grandeur des actions mutuelles, ne changerait pas. Ion même que la loi d'attraction de la matière varierait; il est aussi indépendant des changements qui peuvent sonrenir dans la figure des corps célestes , parce qu'ils proviendront toujours de forces égales deux à deux et de sens contraire. Les parties liquides ou gazeuses pourraient se lier invariablement à la partie solide d'une planète ; les planètes pour* raient se lier entre elles ou se choquer d'une manière quelconque; elles pourraient être brisées par des exjdosions, sans que ce plan fut dérangé.

Il resterait encore le même si l'on supposait tou$ les corps du système sollicités par des forces parallèles et proportionnelles aux masses ; car les mouvements rapportés à trois axes menés par le centre de gravité dans des direc-» tions constantes ne seraient pas altérés, et, par conséquent, }es aires projetées sur ces plans resteraient les mêmes.

6S. Équation ff es forces vivres. — Cette équation s'obtient en considérant un déplacement virtuel particulier, qui n'est pas toujours compatible avec les liaisons du sys^ tème. C'est celui qui coïnciderait avec le déplacement qui s'opère pendant un temps infiniment petit dans le mouve-i ment réçl de ce système.

t^KUXlÈME P4mTim. — DTIIAXIQUE. I I9

Pour reconnaître quand ce déplacement virtuel est permis, soit L = o une des équations de condition données. Les déplacements virtuels satisferont à l'équation

•et lors même que L renfermerait la variable t explicitement, on ne la ferait pas varier dans cette équation, puisque les déplacements virtuels se rapportent au mèmç instant.

Si maintenant on désigne par dx, tfy^ dz^ etc., les accroissements infiniment petits que prennent les coordonnées pendant le temps dt dans le mouvement, cfiectîf du système, Téquation L = o devant constamaient être satisfaite , Taccroissement de son premier membre , après le temps dt^ doit être nul, ce qui donne, en supposant^ pour plus de généralité , que la variaMc t y entre explicitement ,

dla , dh , dh ^ dla ^ dja ^ ,

—— de -+- -T— t/x -f- —— dy H- —— dz H ;-, dx -f- . . . r= o.

dt dx ^y «2 "«^

Or ces deux équations seraient contradictoires si Ton ptt^^ ;nait

^x = dx.y Sjr := dy^ Sz = dzj . . . ,

et cette supposition ne sera permise que si l'on a — = o,

•quel que soit t. D'où Ton conclut qu'<m peut prendre pour déplacement virtuel le déplacement infiniment petit que -subissent en même temps les points du système , en continuant leur mouvement , dans le cas seulement où aucune fdes équations de conditioa ^le renferme le temps d'une ma- «nière explicite*

SupjposQus donc qu'il on soit ainsi, et, d«us Téquaiion

I20 CXIUBS DS MiCMMlQVEm

faisons

ixz=dx^ ^jr^ztiy, isz=dxj

il Tient

2^" y-dF"^"^ 'dF'^^^'dF'^j'^^ (^^ -^ ^*^ -^ ^^^

Or le premier membre est la nioitié de la difiërentielle de

V désignant la vitesse du point dont la masse est m; et Ter qoation précédente peut s^écrire ainsi :

(0 ^ dlmç^ =z 1 (Xdx -f- Ydx -h Z A).

Elle montre que V accroissement de la demi^sonune des forces vwes de tous les points dans wi intervalle de temps infiniment petit, est égal à la somme algébrique des quantités de travail des forces données, développées dans cç même intervalle.

66. Lorsque l'expression £ (X^ + Ydy -+• Ttdz) est la ^iflerentîelle exacte d'une fonction ç de x , y, z , a/, j', z\. . .^ considérées comme variables indépendantes, od pourra intégrer les deux membres de Téquation précédente, entre deux époques quelconques^ et l'on aura

Ainsi, dans ce cas^ l'accroissement de force vive peut se déterminer dès que Ton connaît les positions de tous les points, aux deux époques que Ton considère ^ et toutes les^