Nous allons démontrer maintenant que Texpressioa

est une différentielle exacte quand les forces que l'on y considère sont des actions mutuelles entre les points du système y proportionnelles aux masses de ces points ^ et dépen- 4aut de leurs distances seulement.

En ef&t, soient x, y^ -s, x\ y\ z' les coordonnées de deux points dont les masses sont m , m' et dont la distance <est f. Leur action mutuelle aura pour expression mm' F, F désignant une fonction de f seulement , et les trois composantes de Taction exercée par ro' sur m, seront^' en U supposant attractive ,

mm'Y,—j, — 1 mm Y,- — j-^» mm' Y, — -^ — 9

ex les termes provenant de ces composantes dans

^{Xdx+Ydy-Jt-Zdz) «eront

/ P {^' - ^) ^ -+- ( 7' — x) ^y + (^' --z)dz

mm' Y

Les termes provenant des composantes de l'action de m

isur m' seront

(x - x')dx' + {y^y)dr -+- (g -- zf)dz' mm r — ^

DEUXIÈMB PARTIE. -^ PYNAMIQUK. 1 23

et, si on les réunit, on a

— mm r • r — V j* ' ■ .. — > — I f

ce qui ae réduit à — mmf ¥df^ en ayant égard à l'équa-* tion

On aurait trouvé + mm! F . Jf dans le cas d'une action répuUiTe. Ainsi , tous les termes provenant des actions mur» tuelles des points seront des difierentielles exactes , quand ces actions ne dépendront que de la distance et seront proportionnelles aux masses \ et généralement quand elles: seront égales et opposées.

Nous avons démontré précédemment quHl en était d« même pour toutes les forces agissant vers des centres fixes proportionnellement à une fonction de la distance seul^ ment.

Mais le théorème n'aurait plus lieu s'il existait des rér sistances de milieux ou de frottement : les forces X , Y, Ta dépendraient alors soit des composantes delà vitesse, soit de la pression contre les surfaces ou les lignes qui pro-» duisent le frottement, et

2(Xrfx4-Yrfr-f-Zrf2)

ne serait plus une différentielle exacte.

On observera que la différentielle — mni'¥.df^ qui se rapporte aux attractions mutuelles, est négative si <ff est positif, et positive si df est négatif. Donc les ajltractions mutuelles donnent un accroissement dans la somme des ^forces vives quand les points se rapprochent , et une dimi-* nution quand ils s'éloignent. De même, si les actions sont répulsives, la somme des forces vives croîtra si les points p^éloignent, et décroîtra s'ils se rapprochent.