COU&S PE MÉCANIQUE
70. La somme des forces vives n*est pas altérée par le choc des points du système entre eux , lorsque les corps qui se choquent repassent après la compression par les mêmes états que pendant qu'elle s'opérait, et que la force répulsive qu'ils exercent Tun sur l'autre est la même pour les états semblables ; car alors on a des actions mutuelles qui ne dépendent que des distances des points entre lesquels elles ont lieu.
Mais il n'en est plus de même, comme nous allons le voir, quand les corps qui se choquent ne satirfont plus à cette condition, c'est-à-dire quand ils ne sont plus parfai' tentent élastiques.
71 . Perte de forces vivres produite par le choc^ — Sujv posons que les corps qui se choquent soient entièrement dénués d'élasticité, et désignons par a, &, des composantes de la vitesse du point quelconque m avant le choc, et par A, 6, C leurs valeurs après le choc qui a lieu entre des parties quelconques du système.
D'après le principe de d' Alembert , que nous avons démontré applicable aux forces instantanées (n^ 42), il devra y avoir équilibre entre les forces de choc, qui sont deux à deux égales et directement opposées , et celles dont les com* posantes seraient exprimées pour chaque point par
dx dy €iz
dt dt dt
ou, d'après les notations précédentes, p^r
Or, en appliquant le principe des vitesses virtuelles, ou obtiendra une équation indépendante des forces inconnues que produit le choc , en prenant pour déplacement virtuel celui qui s'opérera réellement après que le choc sera tprt
DEUXliMB PARTIE. — DYNAMIQUE. 125
miné. En effet, les corps cesseront d'agir Tun sur Tautre lorsque leur vitesse sera devenue la même dans le sens de la normale commune; donc alors les moments virtuels des deux forces ^ales et contraires seront égaux et désignes différents; il est donc inutile d*y avoir égard dans la somme totale, et Ton aura Téquation
2/w [(« — A) dlr -h (6 — B)<r + (<^ — C) dz] = o.
Or
tix^=:Adty dy^iBdty dzzziCdi; donc
Soient
2/11 (n A + 6B -f- cC — - A» — B» — C) = o.
flî l- 6» -h c' = p% A» H- B' -h C* = \\
„» -t. V^ — cv* flA-h6B + cC= — ^
l'équation précédente devient alors
Im (p' — V — w'j = o , ou Imv^ — 2 w V* = 2'w«'*;
ce qui prouve qu'il y a une perte de force vive égale à la somme des forces vives relatives aux vitesses perdues. Cette proposition est connue sous le nom de théorème de Carnot.
L'auteur Ta étendu au cas où les corps qui se choquent ont un degré quelconque d'élasticité; mais la difficulté de connaître exactement ce degré en rend l'emploi presque impossible dans l'état actuel de la science. Pour qu'on en put faire usage avec quelque confiance , il faudrait faire de nombreuses expériences , dont on ne s'est pas encore occupé.
Lra perte de forces vives étant £ mw^ dans le cas de corps
126 COOKS DE MBCAHIQUE.
san5 élasticité, si l'on considère le système immédiatenient avant et après lé choc , les points n'ont pas changé sensible* ment de position. En désignant donc par x^j^ z, x',..., les coordonnées de ces points, au. moment où les o^rps viennent en contact, Téquation (2) deviendra, en ayant égard à la perte instantanée de forces vives.
Nous verrons, plus tard, l'usage que l'on fait des équations (2) et (3) dans le calcul de FeiTet des machines.
1% L'équation (2) prend une forme remarquable quand on y introduit les vitesses des points par rapport au centre de gravité du système.
En effet, soient Xj y^ z les coordonnées d^nn quel' conque de ces points par rapport à des axes fixes; |, 39) ^ celles du même point par rapport au centre de gravité, on aura
x=rjr,4-Ç, y=Xt-hri^ «=:z,-hÇ';
et j par suite ,
■" dt^ "^ dr de^ "^ de^ di* "^ dt^
fàœ, ^,^^.^ ^\ \dt dt "^ dt dt dt dt )
Si Ton désigne par u la vitesse du centre de gravité, par V les vitesses dans le mouvement par rapport au centre de gravité, et cpie l'on observe que l'on a
€/Ç dn rfÇ
on obtiendra , en représentant par M la masse totale du
dCtrXlKME PARTIE. — DYNAMIQUE. 12^
système,
(4) 2w(/»=2wV'-f-My'.
L!équation (â) donne ainsi
M 1 j,m\' — \ lm\l =:--(«; — u') -f- ff {xy y, z, x\, . .)
73. On peut encore faire, au sujet du centre de gravité^ nne remarque qui est souvent utile. Le mouvement de ce point étant le même que si toute la masse y était réunie et que toutes les forces y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes , on obtiendra des propriétés du mouvement du centre de gravité d'un système , au moyen des propriétés du mouvement d'un point matériel sollicité par des forces données.
En considérant en particulier Téquation relative à la force vive d'un point matériel , et employant les mêmes notations que ci-dessus , on obtiendra
équation qui peut servir, dans bien des cas , à donner immédiatement l'expression de la vitesse v du centre de gravité. Nous allons en faire usage ici pour démontrer une propriété remarquable du centre de gravité d'^un système. L^équation (i) donne, en y remplaçant Smi^' par sa valeur, tirée de l'équation (4) y
^ rf2w V^ -4- I ^.Mi>' = 2 {yLdx -h Xdy + Zdz).
Or, si l'on désigne par f, >7, ^ les coordonnées par rapport à des axes parallèles à ceux des x^ y^ z et passant par le centre de gravité du système, on aura
128 COÛ&S DE MÉCAlflQUfe^'
et, par suilc,
dx = dXi -H É^Ç , dx:= djTx -f- dn , tlz si dzx 4- d^^
et réquaiion précédente devient, eu. vertu, de Téqna' tîon (5),
c'est-à-dire que l'équation des forces vives a lieu par rapport au centré de gravité, comme si cVtait un point fixe.
74. Équation des forces vivres dans le mou^^ement relatif. — Considérons maintenant le mouvement du système par rapport à des axes mobiles.. Ce mouvement est identique ^ un certain mouvement absolu que prendrait le système, sous les conditions définies dans le n^ 54, et nous pouvons appliquer à ce dernier ce qui vient d'être démontre pour tout mouvement absolu.
Ainsi d'abord, lorsque les équations de conditionne ren^ f€rmeix>nt pas explicitement le temps, F accroissement de la demi^somme des forces vi^cs relatii^es, dans un temps infiniment petit, est égal à la somme des quantités de tmt^ail des forces relativ^es dans le même intervalle.
Rappelons-nous maintenant que les forces relatives se composent des forces données et des forces fictives. Ces dernières consistent d'abord dans les forces d'inertie qui seraient développées par chaque point du système, si on le liait aux axes mobiles, et ensuite à des forcés perpendiculaires aux vitesses relatives, et dont le travail est, par conséquent, nul.
D'où l'on voit que V équation des forces vii^es a lieu dans le mouvement relatif pourvu quon joigne aux forces données les forces- d'inertie de chaque point, supposé Hé aux axes mobiles, à V instant que Von considère^ ou, d'après les dénominations employées par M. Coriolis, pourvu
DEUXIÈME PARTiK. — DYNAMIQUE. * ^9
qubn joigne aux forces données des forces égales et op-^ posées aiix forces d'entraînement pour chacun des points du système.
Toutes les proposrtîons que nous avons établies sur les forces vives 4ans le mouvement absolu se trouvent donc applicables au mouvement relatif, au moyen de l'introduction de ces forces d'inertie fictives \ et il est inutile d'en re-* produire les énoncés ^
N. B, — Il ne faut pas oublier que dans le mouvement absolu, qui est identique avec le mouvement relatif, les équations de liaison ne sont autre chose que les proposées eifprimées au moyen des coordonnées relatives dans lesquelles on substitue à ces dernières les coordonnées absolues prises dans le système des axes fixes que Ton a choisies; que Fétat initial, dans ce système, est identique à Tétat initial relatif aux axes mobiles; enfin, que les forces, tant données que fictives, que Ton considère dans ce mouvement absolu sont exprimées au moyen des coordonnées qui s'y rapportent, de la même manière que le sont, au moyen de» coordonnées relatives, les forces réellement données et les forces fictives considérées dans chaque position du système proposé-
