CHAPITRE XVn

Application des principes précédents au choc

des corps sphériques.

75. Choc direct. — Supposons deux sphères composées découches homogènes , et dont les centres soient animés de mouvements uniformes suivant une même droite : si ces deux corps viennent pw? choquer, leurs vitesses seront modifiées^ mais leurs centres continueront à se mouvoir dans un sens ou dans Tai^tre sur la même droite : nous nous II. -9

t3o GOtJRS PB ÙiCKinQVE,

proposons de trouver les formules qui exprimeront, dan^ tous les cas, leurs vitesses après le choc, en' fonction de leurs vitesses primitives.

Nous considérerons les deux cas extrêmes où les corps sont complètement mons, ou bieii parfaitement élastiques; et, pour écarter toutes les difficultés qui peuvent tenir à la forme des corps après le cboc , et des mouvements intérieurs qui peuvent y exister, nous les réduirons à deux points ma^ tériels ; nous supposerons que , quand ils se trouvent à une très-petite distance Tun de l'autre, il s'exerce entre eax une force répulsive qui ne sera fonction que de la distance dans le cas des corps parfaitement élastiques, et qui, au contraire, dans Iç cas des corps mous, deviendra nulle aprè» un certain degré de rapprochement.

Rapportons la position des deux points à une origine fixe, prise sur ta ligne du mouvement. Soient a:, x' les abscisses de ces points ^ m , m' leurs masses , f^ , i^' leurs vitesses avant le choc ; V, V leurs vitesses après le choc» Ces quantités seront considérées comme positives quand )e mouvement sera dirigé dans le sens des x positifs, et comme négatives dans le cas contraire 5 de sorte qu'elles seront toujours représentées, en grandeur et en signe, dx dx'

Cela posé, si nous désignons par x^ l'abscisse du centre de gravité des deux points, nous aurons constamment

/»j: 4- /w'y =r (/w -+- /«') jf, ; et, en dîfférentiant ,

^ix . dx* , , . dx^

dt de ^ * dt

Or,^ d'après le principe de la conservation du mocve-

OEtJXiÈME PAR^ifi. — DYNAMIQUk. lijt

iheïit du centre de gravité, — ' est constant, et alamèhie

valeur avant et après le choc. Le premier membre a dcwiC aussi la même valeur avant et après le elioc \ ce qui donné cette première relation

quels que soient d'ailleuirs les signes des quantités f^, v\ V> Y^ et soit que les corps soient mous ou élastiques.

Distinguons maintenant ces deux cas :

1°. Si les corps sont entièrement dénués d^élasticité, Taction mutuelle cessera lorsque leurs vitesses seront devenues égales et de même sens; on aura alors V = V, et Inéquation (i) donne

On voit que les deux corps resteront en repos après le choc, si Ton a

mv 4- w' p' = o ,

c'est-à-dire si les quantités de mouvement sont égales^ et les vitesses de signes contraires.

On vérifierait facilement que la somme des forces vives après le choc est moindre <|u'avatit le choc, et qtie la différence est la somme des forces vives correspondantes aux vitesses perdues.

2^. Si les corps sont parfaitement élastiques, la somme des forces vives n'a pas été changée par le choc , et l'on a > par conséquent,

( 2 ) iwf' H- m' v"" z=zm\^+m' V'.

Les équations (i) et (2) déterminent V et V au moyen

v3c^ COUR» DE Ml^CAfHQITR.

Si on les met sous la forme

on trouve , en les divisant membre à membre ,

ce qui nïoiitre que les vitesses relatives avant et après le ehoc sont égales et de sens contraires. Les équations (i) et (3) donnent

(m — »i')p-4-2wiV

m -h m , (m — m)p -+■ :tmp

.Si les masses des deux corps sont égales, ces formules donnent

c'est-à-dire que, dans ce cas, les deux corps échangent toujours leurs vitesses.

Si l'un des corps est en repos , |wtr exemple celui dont ïa masse est m', on trouve

m -h m' ni -4- m' '

de sorte que le corps en mouvement sera réfléchi s'il a une masse plus petite que Tautre et continuera, au contraire^ son mouvement dans le même sens s'il a une masse plu» grande. Dans l'un et l'autre cas, sa vitesse relative sera — f^, comme il résulterait de l'équation (3). Si l'on avait, en outre, m = m'^ on trouverait