Faisons à ce cas parliculici Tapplicalion que nous
ÛCUXIÈME PAETIK. — ^ DYNAIfllQUE. ï/^l
venons d'indiquer généralement du principe des forces vives. On a alors
X = o, Y=ro, 2=r — gdm ,
pour les composantes de la force appliquée à un élément, quelconque dm de la masse; l'équation des forces vives devient donc
— j 2 wr' = — 7. ifgdmciz =z — nglzdm -f- CfJ
C désignant une constante arbitraire. Mais, en représentant par Zi le z du centre de gravité du corps, on a
2 zdm = Mzt = M / cos 0.
Si Ton détermine la constante par la condition que les va-
dj Tt
d9 leurs initiales de 0 et de -7- soient do 6t co , l'équation pré-
cédente deviendra
/dBY 2gui . ^ ^N ,
( — ) = r^—- (cos 9 — cos Ôo) -f- «%
\dt ) ir^dm^ • ^ '
ce qui n'est autre chose que l'intégrale première de l'équation (3). Le calcul s'achèverait comme dans la théorie du pendule;
Si Taxe fixe était incliné à l'horizon, une simple décoraposition de la pesanteur ramènerait au cas que nous venons de considérer, où l'axe est perpendiculaire à la direction des forces.
84. Un corps solide qui oscille autour d'un axe horizontal se nomme un pendule composé^ ce que l'on appelle sa longueur, c'est celle du pendule simple dont le mouvement est le même. Ainsi la longueur du pendule composé
que nous avons considéré est » Elle ne serait pas
I'42 COURS DE BtECANIQtJE*
changée si Ton donnait au corpè une autre position qUeU conque, pour laquelle / et ^r'^dm resteraient les mènie3i
Mouvement d'un corps autour d'un ûxCy produit par
une force instantanée.
85. Nous avons déterminé le mouvement d'un corps autour d'un axe , en supposant que sa position initiale soit connue ) ainsi que sa vitesse angulaire initiale. Mais si, aa Heu de cette vitesse, on donne seulement la force instantanée qui Ta produite , il faudra commencer par détermi-* ner quelle vitesse doit prendre le corps, soumis pendant un temps extrêmement petit à Tactiôn d'une force qui aurait produit sur un point matériel libre Une quantité de mouve* fnent connue.
Si Ton décompose cette force en deux autres , dont Ttine soit parallèle à Taxe, et Tautrc dans un plan perpendicu- Isfire, cette dernière produira seule le mouvement. Représentons sa valeur par P, et par p sa distance à Taxe; le principe de d'Alembert conduira à Féquation
Cl) étant la vitesse angulaire*, d'où, en employant les mêmes dénominations que précédemment,
tu ^r -•
Ir^dm
La vitesse angulaire produite par l'impulsion étant.connue, le mouvement se déterminera comme précédemment-, et si aucune force ne reste appliquée au corps,
l'équation (i) donnera -j-j = o, et la vitesse angulaire sera constante.
OEYJXtàlIE PARTIE. — DTNAlAlQtTE. l43
86. Supposons que l'impulsion ait été produite par le choc d'un point ayant une masse [x , animée d'une vitesse y dirigée dans un plan perpendiculaire à l'axe, suivant une droite distante de Taxe d'une quantité f, et admettons que cette masse reste unie au corps au point où elle le rencontre, et dont nous désignerons par h la distance à Taxe.
Si l'on décompose la vitesse i^ suivant la normale et la tangente au cercle que décrira autour de l'axe le point où a lieu le choc, la première sera détruite, et l'autre aura
pour valeur -r- Représentons par co la vitesse angulaire
du système après le choc *, la masse [à aura perdu la vitesse
•^ — Aot), et la quantité d» mouvement que la réaction du
corps lui aura fait perdre sera fjt I -7- — Aw j : telle sera
donc la mesure de la force instantanée produite sui' la inasse |ui : et, comme l'action et la réaction sont égales, ce sera aussi la mesure de la force instantanée qui a agi sur le corps donné. On rentre donc dans le cas précédent et Ton aura de même
a/< I î^ — ^*w I = wXr'crm: d'où w = ,, ^^^ ,
dm
I^e dénominateur est le moment d'inertie du système composé du corps donné et de la masse qui s'est unie à lui. Si donc on entend que la somme S s'étend à leur ensemble , on écrira simplement
r^dm
Si, au lieu d'im seul corps, on en supposait un nombre quelconque dont les masses fussent fji, fji', fji", etc. , les vitesses u^ p', s^"^ etc. , et les distances des directions de ces vitesses à l'axe/,/', /", etc. , et que tous ces corps vinssent
i44 cotJRS DE M]£i::ANiQnc.'
choquer le premier au ni6iiie instant , en se réunissant à lui , on aurait
la somme Z r'^din se rapportant à tous ces corps réunis.
