DEUXIÈME PARTIE. DYITAMIQUE. \^n

a, i, c, dj e, ^ seront des coustantes déterminées par la nature du système donné , et sa position par rapport aux axes. Si maintenant on porte sur AS une longueur

AN = -p? et qu'on fasse la même construction pour toutes les directions que peut prendre AS autour du point A , le lieu des points N sera une surface entièrement fermée , puisque AN a toujours une valeur réelle et finie. Pour en avoir Téquation , on désignera par x^j^ z les coordonnées de N , et l'on aura

roSflr = a:vj*, cos 6 =rr j yj^i, cos 7 = 3 y/|ji,

L*équation précédente qui donne la valeur de fx devient , en éliminant a, ê, y, \k au moyen de ces dernières,

(i) (^ 4- c) j?'+ [a 4- c)/'+ {a -i- h) z' — 2 dyz — 2 exz — ifxy = i .

Le lieu est donc une surface du second degré dont Forigine est le centre, et c'est un ellipsoïde, puisque aucun rajon ne peut être infini. M. Poinsot le désigne sous le nom $ ellipsoïde central.

La forme et la position de cet ellipsoïde ne dépendent en rien du choix des axes de coordonnées \ mais son équation serait plus simple si l'on avait pris ces derniers dans la direction des axes de Tellipsoïde, qui forment un système unique, lorsque les grandeurs de ces axes sont inégales, comme cela a lieu en général.

Admettons donc que l'on ait choisi ce système de coordonnées , les constantes désignées par a, i, c, c?, e, f prendront des valeurs dépendantes de ce choix , et telles que les rectangles des variables ne se trouvent pas dans

r4^ COURS DE MÉCANIQUE'.

réqùatiou de Tellipsoîdc , et 1 W aura par coAséqnent

d=z Oy e= Oy /=r o, ou

Ijzdm = o ^ 2 xzdm = o , 2 xydin = p .

Donc il existe toujours ud système d'axes tels que ces trois intégrales soient nulles, quelle que soit la forme du corps, et lors même que l'on supposerait un nombre quelconque de corps séparés les uns des autres. Ce système , étant celm des axes^e rellipsoïde, sera unique si ces axes sont inégaux. Si deux d'entre eux sont égaux, Taxe perpendiculaire sera invariable, mais le» deux autres seront deux droites rectangulaires quelconques situées dans le plan des deux axes égaux. Enfin, si les trois axes sont égaux , tout système d'axes rectangulaires passant par le même poiffk jouit de la même propriété. On a donné à ces directions partieu^ lîères le nom à^axes principaux d'inertie du corps.

Si nous désignons par A, B, C les moments d'inertie du corps par rapport à ses axes principaux , ou , en d'autres termes, ses moments d'inertie principaux^ notis aurons

et l'équation (i) de rdlipsoïde central devient

Ax^-l-B/'-h Cz^= I.

92. Le moment d'inertie fx par rapport à un axe quelconque passant par l'origine, et faisant les angles a, 6, y avec les axes principaux , s'obtiendra en observant que k

rayon correspondant de l'ellipsoïde étant égal à "7=> on

aura pour expression des coordonnées a: , ^, z de son ex-

trémité :

cos a cos 6 cos 7

xr=-—^^ j — —— , 2 = -—-.,

Vf^ VP VK