Si Ton avait seulement
Ixzdm = o , Ijrzdm = 0^
l'équation de rçUipsqïde renfermerait le rectangle xjy et -aucun des deux autres. L^axe des z serait donc un de ses axes principaux , et , par suite , un des axes principaux d'inertie relatifs à l'origine des coordonnées.
94. Cherchons maintenant s'il existe des points. tels, que les trois moments principaux d'inertie qui s'y rapportent , et, par suite, tous les autres, soient égaux. L'ellipsoïde central relatif à ce point se réduira à une sphère , et toutes les droites passant par ce point seront des axes principaux*
l5o COURS DE MÉGANIQUE.
Supposons, pour plus de simplicité, queron ait pris pour axes de coordonnées les axes principaux relatifs au centre de gravité du corps, et désignons par x', y\ z' les coordonnées du point cherché. Si par ce point on conçoit des parallèles aux trois axes des x^ y^ z\ ces droites devront être des axes principaux relativement à ce point, et, par conséqueift, on dcîvra avoir
■2(r"- /) (s — z')dm = o^ 2 (s — 2') (a: — j/) fl^/w = o, 2 {x — x') {y ^ y)dm = o;
or on a , par hypothèse ,
l.yzdm = o, l^xzdm = o, Ixydm = 0, Ixdm =0, lydm =0, Izdm =0.
Les équations précédentes deviennent donc , en désignant par M la masse totale du système,
Mjr'z'=ro, Ma:'a'=o, Mx'y = o;
ce qui exige que deux des trois quantités x^y j\ z' soient nulles. Soient x' = o^ j' = o\ les moments relatifs aux nouveaux axes seront
Ah-Mz'% B-+-Mz'% C.
11 ne reste' plus qu'à exprimer que ces trois valeurs sont égales 5 ce qui exige que l'on ait
Ainsi , deux des moments principaux relatifs au centre de gravité doivent être égaux, et les points cherchés, s'il y en a, seront nécessairement situés sur Taxe correspondant au troisième moment. Mais, pour que z' soit réel, il faudra que Fon ait C > A 5 ainsi , on a cette dernière
DEUX I KM K PARTIE. — UYNA^IIQUR. l5l
condition, que ce troisième moment soit le plus grand. Quand toutes ces conditions seront remplies, on aura deux points qui satisferont à la question^ ils seront situés sur l'axe du plus grand moment, de part et d'autre du centre de gravité, et à une distance de ce point égale à
95. Les axes pHncipaux d'inertie relatifs au centre de gravité d'un corps jouissent de la propriété remarquable d'être des axes principaux relativement à un quelconque de leurs points, et d'avoir pour conjugués des axes parallèles à ceux qui se rapportent au centre de gravité.
En effet, considérons l'un quelconque des trois, par exemple Taxe des z^ et transportons l'origine en un quelconque de ses points , dont le z soit A *, il suffira de poser
Or on a, par hypothèse,
"Lyzdm = o, Ixzdm = o, "Lxydin =. o;
d'ailleurs
l^yzdm := lyz' dm -\- hl,ydni = ^yz' dm\
donc
^jz' dm = o, et , de même ,
^xz' dm =z o.
Donc les parallèles aux trois axes principaux relatifs au centre de gravité, menées par un point quelconque de l'un d'eux , sont des axes principaux relativement à ce point.
96. Moment d'inertie d'un parallélipipède rectangle. — Si , par le centre de ce parallélipipède , supposé homp * gène , on mène trois parallèles à ses arêtes , on aura les ay r princips^ux relatifs au centre de gravité. Désignons pi
i, c les longueurs des arêtes, et par M la masse du parallélipipède^ les moments d'înertîe par rapport aux axes qui leur èont respectivement parallèles seront
Le moment d'inertie par rapport à une droite faisant les angles a^ S^ y avec les arêtes a, 6, c et située à une distance d du centre du parallélipipède, serait donc
— [{b^ + c')cos'a 4- (rt^-hc»)co82 6 4-(a'-f-è»)cos*7] + Mrf'.
