DEUXIEME PARTIE. — DYNAMIQUE. iS
Ojt, cfclte langueur peut rester la même pour une infinité de droites difl'érentes , puisque a , 6 , y, / sont indéterminés.
101 . Si Ton cherche les valeurs que doivent avoir ces indéterminées , pour que l'expression précédente soit minimum , on saura autour de quel axe il faut que le mouvement ait lieu pour que l'oscillation se fasse dans le moindre tepips possible.
Or, parmi tous les axes pour lesquels A* serait constant,
celui qui donne le minimum pour la longueur l -i- -j-
correspond à l = h\ et la longueur du pendule est alors égale k ik. Elle sera donc la plus petite possible lorsque h aura sa plus petite valeur. Ainsi , l'oscillation sera la plus courte lorsque Taxe de suspension sera papallèle à Taxe du plus petit moment d'inertie relatif au centre de gravité ; et sa distance h à cet axe est égale à la racine carrée du rapport de ce moment d'inertie à la masse du corps.
102. Percussion contre Vaxe. — La force instantanée qui met un corps en mouvement autour d'un axe fixe , produit sur cet axe une sorte de choc ou de percussion qu'il est nécessaire de connaître , et qui provient des forces qui se font équilibre au moyen de sa résistance. Prenons cet axe pour axe des z \ et pour plan de x et y^ le plan perpendiculaire mené par le point d'application de la force. Décomposons cette force en deux autres : l'une , Z , parallèle à l'axe fixe \ l'autre, P, située dans le plan XY, et ayant pour composantes X, Y.
. L'équilibre devra avoir lieu entre les forces — X, — Y, — Z, et celles qui seraient mesurées par les quantités de
, dx , dy j dz ^ , , ,
mouvement am -7-9 dm -r-? r/m— relativement a tous les
dt dt dt
éléments du corps 5 et il faut observer que l'on a -7- == o , puisque le mouvement a lieu autour de Taxe des z.
Soient X ^j^ z les coordonnées de rélément dm , r sa distance à l'axe , 6 l'angle formé avec l'axe des x par la projection de la perpendiculaire abaissée de cet élément sur Taxe, et o) la vitesse angulaire produite. On aura
X z= r cos 9 , r = /• sin 0 , —- = w ; ' -^ ^ dt
en diflférentiant par rapport à ^, on aura ,
dx . ^ ^6 dr ^dB
-7-=r — rsinô-7-9 -r- = rcosô— -9 de dt dt dt
OU
dx dy
et les composantes de la force appliquée à Télément dm parallèlement à Taxe des a: et à l'axe des j^, seront respectivement — îiijdm et &> xdm.
Si maintenant on décompose le système de ces forces, jointes à — X, -—Y, — Z, en trois forces dirigées suivant les axes des x, y, z, et en trois couples ayant leurs axes dans ces mêmes directions , on trouvera , pour les forces, les expressions
Xx-^y^ désignant les coordonnées du centre de gravité du corps 5 les trois couples auront respectivement pour expressions
AZ + w 2d:2é//w, — a Z -H w 2 j3fi?/w, «Y — AX — tdtr^dm^
aetb étant les coordonnées du point d'application de la force.
Or, le dernier couple est nul de lui-même , d'après la condition d'équilibre autour de l'axe ^ et les efforts exercés sur Taxe ne proviennent que des deux autres couples et des forces dirigées suivant les trois axes.
