DEUXIÈME PA&TIE. — DYNAMIQUE
produirait sur le point libre le mouvement quHl a ; ces dernières sont, comme on le sait, les dérivî^es secondes, par rapport au temps, des coordonnées du point , estimées parallèlement à trois directions invariables quelconques. Nous choisirons pour ces directions celles qu'ont les axes mobiles à un instant quelconque , et que nous considérerons comme devenant invariables. Les composantes de la vitesse, par rapport aux axes mobiles, sont
elles deviennent
U -{- (ht y P + rfl», iV "{- dw
après le temps dt^ mais ne sont plus estimées parallèlement aux mêmes axes Xi , Y| , Z| ; elles le sont par rapport aux directions qu'ont les axes mobiles après le temps dty et que nous désignerons par X', Y', Z'.
Si donc on les projette toutes les trois sur chacun des axes Xj , Y| , Zi , on aura les composantes de la vitesse suivant ces mêmes axes après le temps dt ; et si l'on en retranche respectivement m, i', w, puis qu'on divise les restes par dt^ on aura les trois composantes de la force accélératrice suivant Xi , Yi , Zj , que nous désignerons par m', i^', w'. Cela posé , les valeurs de u, p», w étant, d'après le n" 230, tome P'^,
on obtient, en les diflTérentiant,
du = z, dq — jfx dry dp = Xidr — z, ^ , dw =r j dp — ;r, dq.
Les quantités
u -+- duy ç -^ dçj «» -I- dw
étant connues, et comptées sur les axes X', Y', Z', doivent être projetées toutes les troi« sur chacun des axes X^, Yj, Z^ j
l68 COVhS DE MiCANIQUX»
il faut donc d'abord calculer les cosinus des angles des directions X'^ Y', Z' avec leis directions Xi , Yi , Zi. Or, les cosinus des angles que fait la direction Xi ayec les axes fixes X, Y, Z sont
ceux c[ui se rapportent à la direction X' seront, par suite,
On aura des expressions analogues pour les directions Yi,T' et Zj, Z'. Il est dpnc facile de calcnler les cosinus des angles des trois premières directions avec les trois autres.
On voit d^abord , qu'en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre , on peut remplacer les cosinus des angles infiniment petits par l'unité^ d'où résulte
cosX'X, = 1, cosY'Yi = i, cos?;'Z4=n.
On trouvera ensuite
cos TZ,=ib-{'db),c -ir {b'-r^db') c' H-«^''H- ^") / =: cdb -h c' db' -\- c'' db\
et de même
cos Yi Z' = bdc ^b'dc' ^ b" d^' i
et comme on a
bc^b'c* ^V'c" = o,,
on en tire
hdc 4- b'di^ H- b"dc" -+. cdb 4- d dV -}- ç" db" = o.
D'ailleurs on a (n« 230, tQme P')
cdb -h dmb' -h c" db" ^pdt-, donc
cos Y' Z, = r- cos Z' Y, = p«Ér .
DEUXliME^ PARÏIE. — DYNAMIQUE. 169
On trouverait des résultats semblables pour les autres an^ gles ; ce qui nous donne
cos'Y'Zi == — cos r Y, = /?//^, cos Z'X, = — cos X'Zi = qdt, cosX'Y|=-cosrX,= rdt (*).
Rien n'est donc plus facile, maintenant, que déformer les valeurs de m', p»', w' ; et l'on trouve , toutes réductions faites ,
(2) \v' ^x, j^— z. -^ -4-«,(^»i — ry,)'^p(pyt-'qx,)y w' = Xt-^—x, -^-f.;>(rjr, ^ pzi) -^ q [qz^ — rr,).
HO. Équations du moui^ement, — Si Ton désigne par Xi, Yi, Zi les composantes parallèles aux axes mobiles, de la force motrice appliquée à un point quelconque, le principe de d'Alembert fournira les trois équations suivantes .
2(rt«'' —«,«'') àm = î(jriZ, — z.Y,), 5: («, a' — «.fv'ji/iiî = 2(z, X, — «|Z,), 2(^1*^ '-yiU')4m =2(;f, Y, — /,Xi).
Les sommes indiquées dans les premiers membres se rapportent à la masse entière , et celles du second , aux forces
' I j . Il III
{*) On Yoit, par ces formules, que les quantités pdt, qdt, rdt, qui déter* minent Taxe instantané de rotation, et les composantes de la vitesse angu-. laire, ont une autre signification géométrique remarquable. Elles représentent lot cosinus des angles que font deux à deux les directions des axes liés au corps, avec leur position infiniment voisine. Cette remarque a été faite pour la première fois, je pense, dans la première édition de cette Mécanique.
