DEUXIÈME PARTIE. bYNAMIQUE. I H

conique pourraient être produites à ce moment par des forces instantanées , agissant sur le corps en repos dans cette position ; et toutes ces forces , en vertu du point fixe, seraient réductibles à un couple. Ce couple est identique avec celui qui résulterait des quantités de mouvement qui animent les dîflTérents points du corps. Si l'on décompose l'un et T autre de ces couples en trois autres dont les axes soient dirigés suivant trois droites rectangulaires fixes , les couples composants seront respectivement les mêmes.

Or, le principe des aires apprend que , lorsqu'il n'y a pas de forces extérieures , les sommes des moments des quantités de mouvement , par rapport à trois axes fixes , sont constantes, et donnent par conséquent un moment constant dont l'axe a une direction constante. Les forces instantanées qui produiraient à chaque instant sur le corps en repos, dans la position qu'il occupe à cet instant, les vitesses qui ont lieu, sont donc réductibles à un couple qui a toujours même axe et même moment. Cherchons à déterminer cet axe et ce moment.

Considérons pour cela les quantités de mouvement décomposées à un instant quelconque suivant les axes principaux d'inertie sur lesquels se comptent les x^ yi^ z^. Les moments des couples auxquels elles donnent naissance auront pour expressions

^{yifv — Zxv)dm^ 2(3,11 — Xxw)dm^ ^[x^if — yiu)dm\

substituant les valeurs de i^, (^, iv, données par les équa-^ tions ( I ) , on trouvera

(4) • < 2(2, tt— jc,<v)ryw = B^,'

( 2 (.r, s* — y^u)dm = C r.

Ces quantités ne «ont pas constantes parce que les axes

des XijTi Zi ne sont pas fixes ^ mais la sonune de leurs carrés est constante, puisque le moment résultant est constant : désignant la valeur de ce moment par Ar, on aura

(5) A>/?»-hB»^»H-C»r»=: A».

Lorsque Ton connaît Fétat initial du corps ^ c'est-à-dire sa position initiale , et les vitesses initiales ou les forces instantanées qui les ont produites , on connaît les valeurs initiales de Ap, B^, Cr, et par suite de p^ g, r.

Si nous désignons par OK la direction de Taxe du couple résultant des quantités de mouvement^ on aura, pour.de*terminer cette direction par rapport aux axes mobiles ,

(6) cosKOX.= ^, co8KOY. = ?i, co8KOZ, = y% et, par rapport aux axes fixes ^

X ap -hBbq -{-Ccr

ces KOX = ■ — p-2 ,

( 7) ' \ CCS KOY = ~ ,

Les numérateurs de ces expressions seront constants, puisqae la direction de OK est fixe.

Les formules (4) prouveraient, si on ne l'avait déjà démontré, que les cosinus des angles que l'axe instantané fait avec Xi, Yi, Zi sont respectivement de même signe que

En effet, les composantes de la rotation instantanée suivant les directions des axes principaux d^inertie da corps , sont les rotations que produiraient les couples composants Ap^ 6 y, Cr; elles sont donc de même signes que ces couples, et par conséquent que p, q^ r.