COS
et démontre cette propriété remarquable, que \9l. vitesse angulaire instantanée donne une composante constante par rapport à l*axe du couple résultant ^ gui est celui du maximum des aires y ou du plan inuaiiable,
114. Position de Vaxe instantané par rapport à l'ellipsoïde central. — L'équation de l'ellipsoïde cexitral étant
les cosinus des angles que la normale au point quelconque XiytZi fait avec les axes mobiles, sont proportionnels aux quantités A OTi , Bj^i 5 C -?! •
Mais les cosinus qui se rapportent à Taxe du couple résultant sont proportionnels à A;?, B^, Cr. Ces deux droites se confondront donc si l'on a — = ~ = — » c'est-à-dire
si le rayon de l'ellipsoïde mené au point x^y^ z^ se confond avec l'axe instantané de rotation ; d'où résulte cette proposition, qui se trouve, ainsi que la précédente, dans le Mémoire de M. Poinsot sur la rotation des corps :
Si Von mène à V ellipsoïde central un plan tangent parallèle au plan du couple résultant , le rayon mené au point de contact est l'axe instantané de rotation.
115. Vitesse angulaire en fonction du rayon de V ellipsoïde. — Les coordonnées du pôle de rotation sur l'ellipsoïde central, c'est-à-dire du point où cette surface est percée par l'axe instantané, étant proportionnelles à/?, y, r, on a les égalités suivantes , dans lesquelles R désigne la Ion-
DEUXIÈME PABTIE. — DYNAMIQUE. 1^5
gueùr du rayon de l'ellipsoïde, et P la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent :
•2^1 jTi ^»
Les trois derniers membre^s fournissent les équations suivantes :
— == -rz =3 — - : d'où w = R V^ , et P = ~ « ^ PX-' ^ ' X-
On déduit de là plusieurs propositions importantes qui sont dues à M. Poinsot.
L'équation w = R V^ fournit d'abord celle-ci :
La vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur
du rayon de rellipsoide, autour diujuel a lieu la rotation
instantanée,
sTh
L'équation P = ~- prouve que la perpendiculaire abais--
sée du point fixe sur le plan qui touche l'ellipsoïde au pôle de rotation , est constante. Or, ce plan est d'ailleurs parallèle au plan fixe du couple résultant; donc il .est constant de position. D'où se déduit cette autre proposition :
L'ellipsoïde central reste constamment tangent au plan mené parallèlement à celui du couple résultant , à une
distance égale à ■~^« Son point de contact est le pôle dé
rotation y et, par conséquent y n'a aucun moui^ement de glissement sur le plan fixée
Cette propriété donne une représentation géométrique très-nette de la marche suivie par le corps.
116. Courbe des pôles. — D'après ce qui vient d'être dit, si l'on conçoit un plan qui se meuve eh restant tan-
gent à Fellipsoîde central et à une sphère conoaitrique
avant pour rayon ^9 le lieu de ces points de contact ayec
rdlipsoîde.sera la courbe des pôles ^ elle sera symétrique par rapport à deox des plans principaux, et sera déterminée par rapport anx axes principaux du corps par les deux équadons
d^oik Ton tire la suivante :
(9) A(*' — AA)x;-4-B(it' — BA)j;4-C(*« — CA)s;=:o,
équation d^un^cône du second degré ayant ses axes principaux dans la même direction que ceux de PeUipscôMie, et qui est le lieu des axes instantanés, relativement au corps. Peur reconnaître le sens de ses deux nappes, soient A le j^iis grand moment d'inertie, et C le plus petit. On trouvent facilement
Iit» — AA = B (B — A)-9» 4- C (C — A) r% X» — BA= C(C — B)r*-+.A(A — B)/?% ifr^ — CA = A (A — C)/i»-h B (B — C) g\
Ainsi Fou aura
it»— AA<o et it»— CA>o.
On obtiendrait inmiédiatement ces deux in^^tés en ob*
servant que ^ est le carré de la distance du centre au plan
tangent au point XijTi Zi de Fellipsoîde; d'où il résulta
De sorte que les sections elliptiques du cône seront perpen-
DBUAIEJII.E IPARTIE. — DYNAMIQUE. J 7'?
diculéires à Faxie des^ x si Ton a --''•■■■.
»— BA>o,
et dles le seront a l'axe des z si l*onâ
Ces deux axes sont ceux du plus petit et du plus gi'ând moment d'inertie du corps.
Si B = C, le cône est de révolution autour de l'axe des x ; si B :±= A, il Test autour de Taxe des -s •, si A = B = C, p, ^, r sont constants d'après les équations, et le mouvement s'effectue autour d'un axe fixe.
Si A:* est égal à une des trois quantités A A, B/«, CA, le cône se réduit à un plan^ mais si A, B, C n^ sont pas tous trois égaux, on a nécessairement
/»— AA<o et X'— C/i>o;
donc c'est seulement A* — B/i qui peut être nul, et dans ce cas le lieu des axes instantanés a pour équation
x] C [k^ — ÇA) c (B -^ C)
«î "" A (AÀ — X») "" A (A — B)'
C'est l'ensemble de deux plans passant par l'axe j'i qui est celui du moyen moment d'inertie 5 ils coupent l'ellipsoïde suivant deux ellipses qui sont le lieu des pôles , et , par conséquent, jouissent de la propriété que la distance du centre au plan tangent à l'ellipsoïde en un point quelconque de ces ellipses est constante; cette distance est évidemment la longueur du demi-axe moyen de l'ellipsoïde.
Si k^ — B/i est positif, le cône entoure Taxe des x, et l'équation (16) donne
zÎ-^aJa^ — X')-^A(A — B)^ - II, . 12
1^8 COUBS DE MKCA?»IQUE.
donc toutes les génératrices situées du côté des z\ positifs sont au-dessous des deux ellipses précédentes* Si, au contraire, A* — Bh est négatif, elles sont au-dessus. De sorte €jue ces deux ellipses partagent rellipsoïde en quatre fuseaux tels, que quand Taxe instantané se trouve, à une époque quelconque , dans l'intérieur de l'un d'eux , il y reste toujours et se meut autour de l'axe principal situé dans ce même fuseau *, et s'il se trouve dans un des plans qui les séparent, il y reste constamment..
On remarquera que s'il y a deux axes presque ^aux , l'un des fuseaux devient très-étroit, et la courbe des pôles, tout en ayant une grande étendue dans son fuseau , pourrait passer très-près de l'extrémité du petit ou du grand axe; il n'y a donc pas toujours stabilité pour l'axe iîistaht^iié lorsque dans Tétat initial il est très-voisin de l'axe principal du plus petit ou du plus grand moment d'inertie; mais, s'il n'y a pas deux axes presque égaux, et que l'axe instantané soit très-voisin du plus petit ou du plus grand , il s'en éloignera très-peu dans tout le cour? du mouvement.
S'il est d'abord voisin de Taxe moyen, la courbe des pôles s'éloignera toujours considérablemnet de l'extrémité de cet axe, et la stabilité n'est plus démontrée. 11 faudrait pour cela que le pôle ne parcourût pas toute la courbe , et cela demande examen.
La courbe des pôles étant tracée et la vitesse initiale de rotation étant connue, ainsi que l'axe instantané autour duquel elle a lieu, on peut se représenter facilement le mouvement indéfini du corps. En effet, après un temps infiniment petit, on saura de quel angle le corps aura tourné; on saurait donc déterminer le point de la courbe des pôles qui devient le point de contact avec le plan fixe; on connaîtrait donc le rayon de l'ellipsoïde, et, par suite, la nouvelle valeur de la vitesse de rotation; on trouverait de
DEUXll^ME PARTIE. — DYNAMIQUE. | ^g
même la position et la vitesse après un autre ihtervalle de temps infiniment petit,, et ainsi de suite indéfiniment. -
' Il est facile de voir comment on pourrait déterminer la courbe formée sur le plan fixe par les positions sucées*, sives du pôle. Nous n'entrerons dans aucun détail à cet égard.
117, Seconde représentation géométrique du moin^é^ nient du corps, — L'axe instantané de rotation décrit dans l'espace une surface conique qui a son centre au point fixe, et pour base la courbe tracée sur le plan fixe par le pôle. Admettons qu'elle soît connue : il est facile de voir qu'elle sera toujours tangente à la surface conique liée au corps et qui est le lieu des positions de Taxe instantané dans le corps. En effet , Taxe instantané sera - k chaque in>stant sur ces deux surfaces^ elles ont donc toujours une génératrice commune. Au bout d'un temps infiniment petit , une génératrice infiniment voisine, appartenant au cône mobile , vient coïncider avec une génératrice du cône fixe^ et comme dans ce mouvement elle ne se déplace que d'infiniment petits du second ordre , il s'ensuit que si siir les deux cônes on prend, à partir de Tarète .commune , deux arêtes correspondantes, distantes de là première de quantités infiniment petites du premier ordre, elles seront distantes l'une de l*autrê de quantités du second ordre ; d'où il résulte que les deux cônes sont tangents. D'ailleurs le cône mobile ne glisse pas sur l'autre, puisque l'arête de contact est Taxe instantané de rotation. Donc enfin '/e mouvement du coips peut être produit au moyen d'un cône du second degré lié invariablement au corps y et qui- roule sur un autre cône dont la surface est engendrée par une dtx)ite qui towiie indéfiniment en ondulant autour de l'axe du couple résultant,
*80 COURS DE MlfCANlQUE,
ii8« Lieu des positions successives deVaxe du couple résultant dans l'intérieur du corps. — Si Fon désigne par:ri, ^i, ^i les coordonnées d'un point quelconque de Taxe de ce couplé par rapport aux axes mobiles^ on aura les équations
z, "" Cr' z, "~ C/ Les équations (12) et ( 1 5 ) conduisent à la suivante
Éliminant -î -entre ces trois équations, on aura l'équa- .tion de la surface cherchée , qui sera
C^est un cône du second degré dont les sections perpendiculaires à l'axe du plus petit, ou bien du plus grand moment dHnerde, sont des ellipses.
Si B == C , il est de révolution autour de l'axe des x. Si A = B , il l'est autour de Taxe des z.
Si A =aB = C, on a X:* == A A 5 les équations (20) et (21) sont identiques, et l'équation qu'on en avait tirée n'apprend plus rien 5 mais les deux précédentes deviennent
Zi r Zi ' r
ce qui montre que l'axe du couple résultant et Taxe instantané de rotation se confondent. C'est ce que l'on aurait déduit aussi de la formule qui donne l'angle de ces deux directions. C'est le cas où le mouvement a lieu autoiu* d'un axe invariable.
