DEUXIEME PARTIE. -^ ' DYNAMIQUE
119. Formules dii^erses . — On peut obtepi r des relations utiles en identifiant les seconds membres des équations (4) avec les sommes des projections sur x^y^ z, des quantités K, V, i*>, données par les équations ( 5 ) . En égalant de part et d'autre les coefficients de Xi , j^i, Zi, oh obtient les neuf équations suivantes :
da , da' ..
- = br-cq, -=br
, da^ , - „
de
dbr
— a'q^b'p, ,— :=^ix»q^b'*p.
dt
dt
On tire encore de ces équations les trois suivantes :
pda 4- qdb -h rdc = o, ^<7^ï' 4- ^c?^' H- ré/c' = o , pda" + /^éfô^-i- rcfc" = o .
Calcul du cas particulier ou le corps nesl solliçilé par
aucune force extérieure,
lâO. S^il n'existe aucune force extérieure, on a L ni o, M == o , N = o , et les équations ( lu) se réduiseut à .
dp
Si l'on multiplie la première par />, la seconde par 47^ la
i8a . , COIIBS DE SIKCANIQUE. -
troisième par r, cl qu'on les ajoute, bn obtient
dp ^ dg - rir ' '^ dt ' at dt
d'où, en intégrant,
(20) A/?'-hB^^-i-C/'»= A,
h désignant une constante arbitraire, qui, diaprés cç que nous avons trouvé précédemment, est la somme des forces vives du système i
On aura une autre intégrale en multipliant respectivement les équations (19) par kp^ B^^ Cr et les ajoutant. En effet, on trouve d'abord
.: àp ^'dq ^ dr
d'où
k désignant une nouvelle constante arbitraire, qui est, comme nous Favons vu, le moment du couple résultant des quantités de mouvement du système. Ces deux constantes h et A:, ainsi que les valeurs initiales de p^ q, r, sont faciles k déduire des données initiales. En effet, la direction de l'àxe du couple résultant et son moment sont comius, soit que l'on donne les forces instantanées qui produisent leâ vitesses initiales, soit qu^on donne ces vitesses mêmes. Ainsi d'abord k est connu; ses couples composants par rapport aux axes Xi, Yj, Zi, dont la position initiale e&l donnée, sont donc aussi connus; et comme leurs moments sont respectivement Ap^ B^, Cr, il en résulte que;), ^, r sont connus en grandeur et en signé | au commencement du mouvement. Donc aussi, d'après l'équation (20), la constante h sera elle-même connue.
Si l'on tire des équations {20) et (21) les valeurs de
