DEUXIÈME PARTIE. DYNAMIQUE. l

p et q -en i\ et qu'on les ri?porte dans la irobième équation (19)9 on obtiendra une équation qui donnera / en fonction de r au moyen d'une quadrature. On trouvera d'abord

^___/^— AA-i-C(A~-C)/-^ '^ "^ B(B — A)

Quant aux signes qu'on devra prendre pour p, q^ r, ils sont connus, dans l'état initial, d'après la position de Taxe du couple résultant relativement aux axes principaux , qui sont eux-mêmes connus à cet instant. Les cosinus dqs angles que fait l'axe de ce couple avec les trois directions

étant — ^> i^ ~r^ ^^* valeurs et les signes de /;, q^ r sont

connus à cette époque. Les équations (19) donnent les dérivées de p^ q^ r en fonction de ces quantités 5 elles conservent leur signe primitif tant que p, </, r conservent le leur 5 et, par suite, ces dernières quantités varient toujours dans le même sens tant qu'aucune d'elles ne devient nulle. Si , par exemple, p passe par zéro, !a première des équations (19)

.donnant la valeur de ^ à cet instant, apprend quel va être

le signe de p immédiatement après, et Ton raisonnera de mèine toutes les fois qu^une des trois quantités deviendra nulle \ on n'aura dotic jamais d'incertitude sur les signes de

Les valeurs de p^ q données par les équations (22), é^ant reportées dans la troisième équation (19), donnent, en supposant^ pour fixer les idées, que l'on doive prendre le même signe pour p eiq^

CsfKËdt

(23) dt=z^

V^X' — B/i H- C ( B — C) /-' \lk — X- 4- C (C — A} r'

l84 COUES DE MÉCANIQUE*

L^întégrale du second membre ne pent ètrç obtenue généralement ; elle dépend des fonctions elliptiques. Elle devient intégrable si deux des trois quantités A , B , G sont égales, OU si A' est égal à une des trois suivantes A A, BA, CA, et nous avons vunque cène peut être qu'à la moyenne.

En supposant qu'onait intégré l'équation ( 23), on aurat «n fonction de r, et la constante sera déterminée par la valeur initiale de r; on eu conclura r en fonction de t, ainsi que p et q, d'après les équations (22).

Il ne reste donc plus , pour avoir la solution complète du problème ) qu'à connaître les angles f , 0,^ au moyen de p, 7, r; et nous avons pour cela les trois équations suivantes, qui se déduisent des formules du n° 228 , tome P"" :

p = cos 9 -r- -h sm «p sm 0 -r-7 '^ ^ dt ^ dt

(24) W ^^ — sm ^— 4-cosçsinô— Î-»

d^ dif r= cosG-^-K-^dt dt

On pourra encore faire usage des formules (iS)^ dont une rentre dans les deux autres.

Mais, pour plus de simplicité, il conviendra de prendre Taxe du couple résultant pour un des axes de coordonnées, par exemple pour axe des z.

Les premiers membres des équations (i3) ne sont alors autre chose que a"^ h'\ c"j et, d'après les valeurs de ces dernières en fonction de <j> , 65^5 données dans les préliminaires, ces équations deviennent

(20) --p = smôsmç, -~=r sm Ô cos<p, — = cosO.

Ces équations déterminent donc cos 0 et tang(p en fonction de p, <jr, 7', et par suite de t. Ces lignes trigonométriques

UEUXIÈME PÂRTIIS. — DYNAMIQUE. l85

étant connues à chaque instant, sans ambiguïté de signe, les angles eux-mêmes , qui varient d'une manière continue, seront complètement déterminés. Il ne reste donc plus qu'à connaître l'angle ij/, et pour cela, on fera usage des

équations ( 24 ) . En éliminant — des deux premières , on

obtient

psintf -{- q ces 9 = sm ô -jï- ?

ou

/c sm Q dt

d'où

on tire de là

(26) d^=-j^—^dt.

Si l'on remet maintenant pour dt sa valeur donnée paj^ l'équation (aS) , on aura, sans ambiguïté de signes, d'après les discussions précédentes, la valeur de r/^p en fonction de ret dr. L'angle ^ sera donc connu en fonction de r et par suite de f , par une intégration qui se réduit aux fonctions elliptiques, et pourra être effectuée exactement dans les mêmes cas que celle qui se rapporte à dt* La constante se déterpiinera par les valeuj^s initiales de ^ et r.

Cas particulier où A = B.

i2i. Dans ce cas, les équations (19) se réduisent à

— = o , d ou r = /* ,

l86 COUBS DE MÉCIAIIIQIIB.

n étant uue coQStante déterminée par l'état initial, et

dp A - C -di^ A "''^

dn C — A dt^ A ''^'

d'où l'on lire

dp du

et, par suite,

m^ étant anc constante arbitraire.

Ou voit donc que la vitesse angulaire sera constante, quoique p et q ne le soient pas \ elle aura pour valeur

Les équations (^o), (21 ) auraient donné les mêmes résultats. Pour avoir p en fonction de t, on éliminei*à> q entre les équations (a), (6), en difierentiant la première et y

remettant pour ~ sa valeur tirée de la seconde. On trouve ainsi, en posant — r — = fx,

(Pp

d'où

/? = M sin (|x /î/ -4- f ) ,

M et e étant des constantes arbitraires; on aura, par suite,

i dp ,

7 = 7- = M cos (ant -h « ;;

' liLH dt \r * /y