PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

132. Ce principe n'a lieu que dans les systèmes poui* lesquels l'équation des forces vives subsiste. Il consiste eh ce que si , pour chaque point du système , on intègre entre deux époques arbitraires le produit de sa. quantité de mouvement

2o6 cocms m. Mic&nQCE.

parTélément de la coarbc qu'il dêcril, la somme de Umtes ces inl^rales est on minimum; c^est-à-dire qu^elle est moindre que si , par de nouvelles liûsons, on assujettissait ces points k suivre de nouTdles courbes, entre les deux mêmes positions eictrèmes que Ton considère, et sons l'influence des mêmes forces.

Pour le démontrer, il faut faire Toir que la variataon de œtte somme est nuUe quand on fait varier infiniment peu les points de ces courbes en leur laissant les mêmes extrémités; car il est évident, par la nature de crette somme, qu'en général elle ne peut avoir une valeur maximum, et que, par conséquent, en exceptant des cas très-particiir liers, elle aura une valeur minimum.

Or on a

SfZmpds=flmQ {pds) =:flm (3p,ds -h p^ib).

Pour calculer la première partie, remplaçons fis par vit, dt se rapportant au mouvement qui a réellement lien; nous aurons

et, par suite,

ImSp.eis = Y^/îm^.p'.

Mais on a , en désignant par C une quantité constante,

et la forme du second membre sera la même pour tous les mouvements que Ton considère, puisque les forces restent les mêmes. Si donc on prend la variation des deux membres, on aura

' dx (fy -^

et, d'après Téquation générale du mouvement, celte der-

DEÇXliME PARTIE. — DYNAMIQUE. 20*J

nière expression est égale à

On aura donc

\dç^ df "^ dt^ I

Pour calculer la seconde partie , nous observerons que

l'équation

ds^^dx^-^d/^-^dz^ <

donne

<k . dx ^ ' dr ^ , dz ^ ^ ds ds ds

et, par suite,

Donc

« > dx ,. dy •. ^ dz ,.

v$(isz=:---d^x-\"^d$r'^-rd$z, dt dt -^ de

lmpSds=:lm l -^d^x-h-T-dS^r-^-^ ddz] :

et, en réunissant les deux parties de la variation de ^mi^ds^

il vient

/ dx dr dz \

8l/m>ds= Imd { -- § x -h -4- ^r -^ -r^2|-

\dt dt '^ dt J

Si maintenant on intègre les deux membres , on aura

S flmpds=zlm ( ^$x -h -^^ r -h^-^ Sz) -h C; ^ \dt dt "^ dt J

mais, aux deux limites de l'intégrale, les variations âx^ ày^ à z sont nulles, puisque les extrémités des courbes décrites restent les mêmes ; donc le second membre est nul , et

Ton â

^f^ m vds = o ,

comme il fallait le démontrer.

208 CQUBS i>E HKCAlftQUfeé

. . D'où Ton conclut que T intégrale

flmvds^ ou flmv^dt

est un minimum ddns le mouvement du systènie.

133. Si les points ne sont soumis à Paction d^àùctine force , on a

h étant constant.

Donc

t et tx étant les valeurs du temps aux deux limites; et, comme l'intégrale est un minimum , il s'ensuit qu'il en est de même de t — ^1, et que, par conséquent, le système passe d^ime position à une autre dans«moins de temps que si l'on intro* duisait de nouvelles liaisons quelconques.

Si l'on considère un point matériel assujetti à rester snr une surface fixe, sans être soumis à l'action d'aucune force, sa vitesse est constante^ et le temps qu'il met à passer d'un point à un autre étant minimum, il s'ensuit que la longueur de la ligne parcourue est aussi minimum, comme nous l'avons déjà démontré d'une autre manière.

DEUXIÈME PAUTIE. BYOROSTAflQUB. 2O9