DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE
qiient , celle position est celle d'un équilibre instable. Donc, entre deux positions d'équilibre stable , il y en a une d'équilibre instable, et réciproquement.
157. Avant d'^aller plus loin, il est bon d'observer que si un corps est coupé par un plan , le volume situé d'un côté de ce plan sera équivalent à celui qu'on obtiendrait en le coupant par un autre plan quelconque , faisant un angle infiniment petit avec le premier, pourvu qu'il passe par le centre de gravité de Taire de la première section, c'està-dire, pour parler plus exactement, que la différence dîés deux volumes sera inâniment petite par rapport au voluiiie compris entre ces plans.
En effet, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à ce volume, on peut regarder la surface du corps comme rfemplacée, dans le voisinage de la section, par une surface cylindrique qui liiî serait perpendiculaire. Or on sait qu'un cylindre tronqué a pour mesure le produit d'une de ses bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la seconde sur le plan de la première 5 d'où il résulte que toutes les sections menées par ce point, qui sera leur centre de gravité, donneront des cylindres tronqués égaux en volume , et , par conséquent , que les volumes compris entre deux sections quelconques, dont l'un s'ajoute et l'autre se retranche à l'un des cylindres tronqués pour former l'autre, sont équivalents.
Il est évident que la proposition énoncée et sa réciproque sont des conséquences de ce. théorème.
168. Cela posé, considérons un corps en équilibre. sur un liquide homogène; les centres de gravité de. ce corps et du liquide déplacé sont situés sur une même verticale, et les poids de ce liquide et du corps sont égaux. Déplaçons Je maintenant infiniment peu d'une manière quelconque, en imprimant à tous ses points des vitesses infiniment petites ;
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l'équilibre sera stable, si ce déplacement reste toujours înfinimént petit, et instable dans le cas contraire; la question consiste à distinguer ces deux cas l'un de Tautre, et c'est ce que nous allons faire au moyen du principe des forces vives.
Soient LQM {fig, 9) ta section de la surface du corps par le plan horizontal qui termine le liquide , ou la ligne de flottaison;
ÂNBI la position qu'a prise, après le dérangement, la ligne de flottaison relalive à l'équilibre;.
L'NM'Ila section faite dans le corps par le plan horizontal mené par le centre de gravité C de l'aire ANBI que nous désignerons par b ;
G le centre de gravité du corps ;
O. celui du liquide déplacé par la partip ADB dû corps; y. le volume de ce liquide dont le poids est égal à celui du corps ;
ô l'angle de GO avec la verticale;
t^ la distancie du point C au niveau du liquide, qui sera pris pour plan des x et j^ ; GO = a ;
p la densité du liquide, et M la masse du corps. Les forces qui sollicitent le corps sôi^it la pesanteur et les pressions exercées par le liquide sur la partie plongée de sa surface. La première se réduit à une force verticale, agissant de haut en bas et égale au poids du corps , qui est M g:, ou g^p V. Les autres produisent le même effet que si tous les éléments de la partie plongée du volume du corps étaient sollicités par des forces verticales, dirigées de bas en haut et égales aux poids de ces éléments, considérés comme formés du liquide lui-même.
Les composantes X, Y sont donc nulles pour tous les points; et si l'on prend Taxe des z dans le sens de la pesanteur, on aura Z == g^ pour tous les éléments du corps, et Z=: — g^ pour les éléments de la partie plongée, consi-
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tlêrée comme formée du liquide. En con5idéraiit ainsi Z , le principe des forces vives donnera Téquatiou
(i) iv^dm=:2ldmfZdz'hC.
Les vitesses étant supposées très-petites, le premier membre est une quantité très-petite du second ordre, et dafis le caloui du second membre, on n'aura le droit de négliger que les termes qui nMnflueraient sur les résultats que de quantités d'un ordre supérieur au second. -
Considérons d'abord les termes du second membre qui proviennent du poids des éléments du corps. On aura alors
JZdz-=^ gz et 27,dmfZdz.'=:2,glidm=:2g^Zxy
Z\ étant le z du centre de gravité du corps.
Quant à la partie immergée, nous la considérerons d'abord comme composée de la partie comprise entre les scor lions horizontales LQM, L'NM', et du volume situé audessous de la dernière. Ce dernier volume est lui-même égal au volume ADB ou V^ augmenté du volume INBM', et diminué de INUÂ.
La valeur de z étant actuellement — ^, on a
■ fZdz:=z — g[z, — Z^)^
et cette intégrale restera constamment égale à gz^ quand z sera négatif, la force Z devenant alors nulle. En reportant gz^ dans la constante totale, on écrira seulement
JZdz::=z^gZ
Si r/a> désigne Félément de volume, ou aura
ftm := ùd^ et
2ldmJ^Zdz = ^- ig^fzdfA,
Il ne s'â^il doue plus que de calculer, pour les quatre vo-
a46 COURS DE niCAHXQUE.
lûmes que nous venons d'indiquer, J zdià^ qui est le moment, par rapport au plan XY, du volume de la partie plongée, dans la position du corps à une époque quelconque.
Le déplacement étant supposé infiniment petit, les diverses sections que nous avons faites dans le corps peuvent toutes être considérées comme équivalentes à j& ^ et la portion comprise entre les deux qui sont parallèles , peut être ^regardée comme cylindrique. Ainsi, pour cette première partie, on aura
Pour le volume ÂDB, on aura
fzd(d=y(zt — acosB),
ou , en remplaçant cosô par i >
Jzd(û=^\zi — V«-f^ f
si le point O est au-dessus de G; [dans le cas contraire, ii faudrait changer le signe de a. Le volume INBM^ peut se décomposer en éléments prismatiques , ayant leurs arêtes verticales , et pour bases les éléments de l'aire ANBL
Soient dlunde ces derniers , situé en R ; RS = ix la pe^ pendiculaire abaissée sur IN , et RT la hauteur du prisme. Son volume sera RTc?Xcos0, expression qu'on peut remplacer par uQdï. ; en la multipliant par le z du milieu de RT, qui est Ç + j m tang 0, ou simplement ^ -h \ uO^ on aura la valeur de fzdtù relativement à cet élément : on trouvera ainsi
expression que Ton devra intégrer dans toute l'étendue de l'aire INB.
Mais on trouverait une expression semblable pour les éléments du volume INLA , à l'exception du z du milieu du
