DEUXIÈME PARTIE. — ' ftTD&OSTATIQUE

prisme, qui serait égal à Ç — -uO-yet comtne le.s termes prov^enanl de ce volume doivent être chaugés de signe, ils seraient exprimés par

D'où Ton voit qu'il suffira de faire la somme des termes de ia forme

dans toute Tétendue de l'aire ANBI , en regardant u comme positif dans la partie INB, et comme Jiégatif dans Tautre. Msiisfuiï'k est nul, puisque IN contient le centre de grà-

vite de Faire ANBI^ il reste donc -fu^d'k. Désignons pai^

bh* l'intégrale /a' cîX, qu'on peut appeler le moment d'inertie de Taire ANBI par rapport à NI5 l'expression précédente

deviendra •

Réunissant les diverses parties de fzdtù^ il vient /zrfw = 1 ^ç» 4- i. JA» Ô' 4- Vz, — V« H- ^^\

et l'équation (i) devient, en observant que M=V|0 et comprenant le terme :tgpVa dans la constante,

si le point O était au-dessous de G, il faudrait, comme iiôus Tavons fait remarquer, changer a en — iu

La constante c se déterminera par l'état initial \ et si lés vitesses initiales sont nulles où infiniment petites, c sera elle-même infinimen t petite .

Cela posé, le premier membre de l'équation (2) étant essentiellement positif, il en sera de même du second, et par conséquent les ternies négatifs doivent constamment donner une somme infiniment {ictite, puisqu'elle doit être

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moindre que C) ce qui exige que 0 et ^ restent infiniment petits. D'où Ton conclut que, lorsque le centre de gravité du corps est au-^ssous du centre de gratâté du Uqmàe déplacé dans Vétat d'équilibre^ le dérangement rest^a toujours infiniment petit y et par conséquent VéqmUhre esl stable. Mais si le centre de gravité dti corps est. andessus de celui du liquide déplacé , l'équation (a) se cbaoge dans la suivante ; .

Or^ quoique c soit infiniment petit, Q et Ç pourraient cesser de Fètre si tous les termes qui referment leurs^ carrés n'étaient pas négatifs. U est donc nécessaire, pour la stabilité de l'équilibre , que Ton ait

bh^ — «V>o, oii <«<C-^î

ei Gonune bhf chauge en même temps que la direction de IN , il faut que l'inégalité précédente ait lieu , en prenant la plus petite valeur dont bh* soit susceptible , quand on sup- < pose que IN prend toutes les directions autour du centrede gravité C de l'aire ANBL U équilibre peut donc encore être stable lorsque le centre de grawté du corps est au-^dessus de celui dujluide déplacé; il suffit que la distance de ces deux points soit moindre que le plus petit des moments d^inertie de Vaire de la section àjleur d'eau par rapport aux droites menées par son centre de grauité^ divisé par le, volume immergé.

Oscillations d^ un. corps flottant,

\ 59. Supposons qu'un corps symétrique, quant à sa figure et à sa densité, par rapport à un plan vertical, soit écarté infiniment peu de la position, où il est en équilibre stable a

m^UXIKlCt PARTIE. — aTDAOSTATlQUB. 2^g

la. surfisicie (f un liquide , de telle sorte que son plan de symé-. trie 5oU reâté vertical; et supposons, en outre, que toutes les vitesses initiales soielit nulles.

il est d'aixird évident que tout étant symétrique, tant dans les. forces que dans le déplacement, par rapport au même plan vertical, ce plan restera constamment vertical; çt là position du corps sera déterminée à chaque instant , si Ton connaît la position d'un de ses points^ par exemple de son centre de gravité, 6t la direction d^une ligne fixe dans ce corps, par eicemple celle qui, dans Tétat d^quilihre, cotitenait les centres de gravité du corps et du liquide déplacée

Nous emploierons les mêmes dénoniinations que<lans là question précédente, et il s'agira de déterminer ô et Ç (/îg^. i o) . Lorsque ces quantités-seront connues , la position du centre de gravité le sera aussi. Car, toutes les forces étant verti» cales , ce point se meut sur la verticale passant par sa pov sitioii initiale; on pourra donc le construire dès qu'on connaîtra Tangle 0 et la distance Ç du point C an niveau . du liquide. D'ailleurs l'expression de son ordonnée GF =? z i jpeùt facilement s'obtenir. Çoient GH^?/, CH = p, ott, aura

z, == / CQS 0 -T /? sin 9 -h Ç,

ou , en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs au premier.

Le problème est donc entièrement ramené à la détermination de 9 et Ç.

Le centre de gravité Q se mouvant comme si toute la niasse M y était réunie et que toutes les forces y fussent appliquées, on en déduira facilement une première équation entre & et l^. En effet , il suffira de supposer en G deux forces verticales : Tune égale à M^« etidirigée daQS le sens de ^la

a50 COURS DE MÉCANIQOS.

pesanteur; Taulre, dirigée 6n s^is contraire et égale àa f>oicl3 du liquide déplacé. Or, les volumes BCM', ACU étant équivalents , le volume LDM jest égal à Y +. &^, et son poids est sp^ -¥- gpbÇ'^ et comme M= pV, la résultante de toutes les forces sera — gp^l^. On aura donc

OU

Nous obtiendrons une seconde équation en considérant le mouvement de rotation autour du centre de gravité, sup posé immobile.

Le poids du corps étant dâruit^ puisque le centre de gravité est fixe , il ne reste â coiisidérer que la somme des moments des forces provenant de l'action du liquide, etqw sont appliquées , comme nous l!avons dé^k dit, à tous les points de la partie immergée du corps.

Le moment résultant de toutes les forces relatives à li partie LML^M\ et considéré comme positif lorsquHl tend à diminuer l'angle 6 , est

^pôÇ(/sin0 -H/?cosO),

et peut se réduire k g pbp^. Il faut y ajouter les moments provenant de ADB, M'CB, et en i^etrancber celui qui proviendrait de ACL'.

Or, la résultante des forces verticales appliquées à tons les points du volume ADB est appliquée en O et égale à gpy^y ie moment résultant sera donc gp\a sin0,ou gpaYO.

Si maintenant nous décomposons le . volume M^ CB comme dans la question précédente , le moment du prisme ayant pour base d}. sera, en désignant par u sa distance à