DEUXIÈME PART». — - HYDROSTATIQUE

la perj^i^culaire au plan de symëtrie menée par C ,

gpOudX (/sin 9 -h p cos ô. H- u cos ô),

ou simplemem

gp9u{p "h u)^!}.,

et Ton devra faire la somme des expressions semblables dans toute l'entendue de Faire projetée suivant CB.

Quant au volume ÂCL', il faut supposer à tous ses points des forces dirigées dans le sens même de la pesanteur, et le moment d'un élément dl sera

u' désignant les distances dirigéesen sens contraires de celles cpi sont désignées par u. Si donc on intègre

dans toute Tétendue de Taire &, en regardant u comme positif à droite de C , et comme négatif à gauche , on aura la somme algébrique des moments correspondants aux deux^ parties M'CB, AÇL'. On trouve ainsi

Or fudX est nul , puisque le centre de gravité de l'aire b est sur la droite projetée en C ; et si Ton pose encore

fu^dx=zb/t», ^

la dernière expression se réduit à

gbp9h\

En réunissant tous les moments, on obtient

et Ton devrait changer a en — a si le point O était au-des* i50us4eG.^

2S2, ^ COUlkS DB MKCAIflQUS. .

Or, d'après la lliéorie du mouvemedt autour don axe 6xe , cette somme de moments doit être ^ate à

MXr* étant le moment d'inertie du Corps par rapport à la perpendiculaire au plan de symétrie , menée par son centre de gravité ^ on aura donc , en remplaçant M par p V,

Les équations (i) et (a) renferment la solution complète de la question; elles se rapportent au cas où le centre de gravité du corps est au-dessous de celui du liquide dëplaéédans la j>ositîon d'équilibre. Il suffira d'y changer le signe de a, dans le cas où ces deux points seraient placés d'une manière inTer&e<

. 160: Intégrons d'abord ces équations en supposant que le corps soit, en outre , symétrique par rapport au plan mené par GO perpendiculairement' au premier; ce qui est à peu près le cas des bâtiments de mer. .

Nous aurons alors p = o, et les équations deviennent

Ces équations peuvent s'intégrer indépendamment Tune de l'autre , et l'on trouve

i Ton suppose, pour plus de simplicité, que les vitesses

DEITXliMB PAkTIE< ttTDltOStATIQVE.

iiiiiialos soient nulles ,.oi> aura

rfr = °'

en même temps que ^ = o , ce qui exige que l'on ait

el les valeurs de 6 et ^ seront

( 3 ) Ç = a ces t

les constantes ûc, 6 représentent àlorâ leâ valeurs initiales de Ç et ô, et l'on voit que 6 et Ç resteront constamment trèspetits y puisqu'ils seront tout au plus égaux à a et^.

La valeur de Zi étant / H- (^, le mouvement du centre de gravité G sera le même que le mouvement vertical du point C; Ces mouvements, ainsi qu« celui de la droite GO autour du point G , sont les mêmes que ceux de pendules simples.

Si le point G est au-dessous de O , la valeur de 6 sera

et si l'on a

= ^"^iy

g ( bh^ — tf V )

bà^— aW^ o,

0 restera toujours inférieur à 6, et par suite très-petit.

Mais si l'on avait hk* — a V <^ o, la valeur de 9 s'exprimerait par des exponentielles , et ne resterait plus trèspetite lorsque t croîtrait indéfiniment. La condition de stabilité de l'équilibre est donc bh* — aV> o lorsque G est au-dessus de.O. C'est celle que nous avions déjà trouvée plus généralement.