DEUXIÈME PARTIE* ^- BYOROSTATIQUE. l

d OÙ l^on déduira facilement les valeurs de d et f eu fonction de f , et des coustautes c^ c\ qui se détermineront par les valeurs initiales de Ç et 6,

162. On peut remarquer que si , à partir de C, on porte sur la droite AB deux longueurs égales à A,, Aj , d'un côté ou de l'autre suivant les signes de ces quantités, on aura deux points dont le» distances au niveau du liquide seront exprimées respectivement par

Ç-h V, ô et Ç-H >;0;

et, d'après les valeurs de ces deux expressions en fonction de f , le mouvement vertical de chacun de aes deux points, sera le même que celui d'un pendule simple. Cette remarque curieuse a été faite, je crois ^ par M. Cauchy.

163. L'équation dX* -h (a — S) X — 6/7 == o aura ses deux racines réelles et de signes contraires , lorsque G sera, au-dessous de O , parce que 6 et ^ seront positifs. Pour connaître le signe de « + X d, on posera

et l'on aura

équation dont les deux racines sont positives, de sorte que la valeur de x sera de la forme que nous avons supposée y et le déplacement restera infiniment petit.

Si G est au-dessus de O et que l'on ait bh* -r- aY '^ Oj ë restera positif et les deux valeurs de X sont réelles et de signes contraires 5 on trouve eucore a H- Xcî ]> o, et le déplacement reste toujours infiniment petit comme cela de- Yaitètre, puisque la condition de^stabilité de TéquiliBre^eat remplie.

Mais si , G étant au-dessus de O, on a bh* — a V <Ç o, 6

^56 COUlLS ttS MÉGÀFtQUfc.'

est négatif, et Tune des valeurs de o^-i-Xâ est n^attv&v Les Talenrs de 9 et ^ renfermeQt alors des exponentielles et ne restent plus très-petites; de sorte que les calculs précédents ne s'y appliquent plus. C'est, en effet, le cas où nous avions déjà démontré que l'équilibre est instable.

164. Les équations (3) , relatives ou cas où le corps est symétrique pai; rapport a deux plans , montrent que si la valeur initiale de ^ est nulle , on a a = o, et que par conséquent ^ est constamment nul. Alors le centre de gravité reste immobile, et il n'y a qu'un mouvement de rotaûon autour d'un ate passant par ce point ; de plus, le Yolome d'eau déplacé reste constant , puisque le point G est toujoim à la surface du liquide.

Les équations (4)9 relatives à un seul plan de synoiétric, démontrent que, lors même que la valeur initiale de Ç serait zéro, ce qv^i est le cas ou le volume d'eau déplacé après le dérangement serait égal à V, on n'a pas constamment ^ = o, et par conséquent le volume immei^é ne restera pas égalàV.

165. Dans les premières recherches sur la stabilité de Téquiliblre des corps flottants, on considérait un point particulier qu'on nommait méface/i^re» et que nous allons faire connaître , parce qu'on en fait encore usage aujourd'hui.

Lorsqu'un corps symétrique par rapport à un plan ve^ tical est dérangé infiniment peu de sa position d'équilibre, il est sollicité par son poids et par la pression du liquide qui se réduit à une force verticale passant par le centre de gravité du liquide déplacé. Or, si la droite GH est rencon^ trée par la direction de cette force au-dessus de G , le corps tendra à reprendre sa première position , et si la rencontre a lieu au-dessous , il tendra à s'écarter de sa position

ï)EUXlèME PARTIE. — HYDROSTATIQUE. 25^

d^^quîlibre. D'où l'on concluait que l'équilibre était stable dans le premier cas , et instable dans le second. Quant à ce point de rencontre que Ton nommait métacentre, on le déterminait en supposant que le volume de liquide déplacé était équivalent à celui .qui se rapportait a la position d'équilibre, ou que du moins on pouvait négliger son accroissement infiniment petit, sans qu'il en résultat aut^une erreur sur la limite du point de rencontre des deux droites.

Cette théorie est défectueuse , parce que le volume infiniment petit que l'on négligeait , bien qu'il ne déplace quMnfinîment peu le centre de gravité du liquide, fait cependant varier d'une quantité finie la position du point de rencontre des deux droites , qui font entre elles un angle infiniment petit (i). Il faudrait donc suivre les différentes positions de ce point dans le mouvement du corps ; ce qui ne peut se faire que quand le problème est résolu, et que l'on n'a plus besoin de savoir si les écarts restent infiniment petits. Mais ce qu'il est bon de remarquer, c'est que lors même que l'équilibre est stable , le point de rencontre en question se trouve tantôt au-dessus et tantôt au-dessous du centre de gravité du corps , excepté dans le cas particulier où la droite GO passe par le centre de gravité delà section à fleur d'eau. Or, il est clair que, si l'on avait su cela, on aurait renoncé à une démonstration qui aurait prouvé aussi bien la stabilité que l'instabilité de l'équilibré. Néanmoins il y a cela de remarquable, que le point de rencontré que Ton déterminait dans l'hypothèse inexacte où l'on aurait pu considérer le volume immergé comme constant, donne la véritable condition de stabilité. Les effets du déplacement de ce point sur la droite GH dé part et d'autre de G ne peuvent renverser le corps que quand le

(*) Journal de l'École Polytechnique , xnv® cahier.

métaccnlre est au-dessous de G. Mais c'est ce qu'on ne pouvait établir que par une analyse semblable à celle dont nous avons fait usage.

\^, Application à V ellipsoïde, — Commençons par chercher la condition de stabilité de l'équilibre d'un ellipsoïde homogène flottant sur un liquide , et dérangé infiniment peu, mais d'une manière quelconque, de sa position d'équilibre. Soient A , B , C [fig^ 1 1 ) les trois demi-axes de l'ellipsoïde, D sa densité, G le centre de l'ellipsoïde, O le centre de gravité du volume immergé LMA , qui sera nécessairement au-dessous de G. Supposons que Taxe vertical A A' soit celui dont la longueur est 2 A, et que Fou ait B > C 5 conservons, du reste , toutes les dénominations précédentes.

rliik condition de stabilité de l'équilibre est iA*^aV, hli} étant le moment d'inertie de l'aire de la' section LM par rapport à la droite menée par son centre , qui donne le moment minimum. Cette droite est le plus grand des deux axes principaux de l'ellipse \ c'est donc celui qui est parallèle à l'axe 2B.

Si l'on désigne ABpar a?, l'équation qui en déterminera la valeur sera

Elle exprime que le poids de 1 ellipsoïde est égal à celui du liquide déplacé, dont le volume est

Le théorème des moments fait connaître immédiatement la valeur de a V, qui est