DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 2"^ I

de f, et Ton déterminerait les trois constantes que cette intégration introduirait en exprimant que, pout t = OyX^ y^ z prennent les valeurs des coordonnées initiales de la molécule que l'on considère.

175. Equations du mous^ement des fluides, — Soient ILdm^ Yû?m, Idni les composantes de la force appliquée ^ la molécule dont la masse est dm\ u^ i^^ w les composantes de sa vitesse, et m', p»', tv' les dérivées par rapport à / 5 des quantités respectives m , ^' , w considérées comme relatives au lîiouvement d'une molécule déterminée , et , par conséqueiit, comme des fonctions de la seule variable t.

TVT ' j/ • / du dif d(v

JMous ne pouvons représenter ces dérivées par 'j-'^ -fi "j-

parce qu'on les confondrait avec les dérivées partielles de //, p', 'sv par rapport à t. Soient enfin p la pression et (> la densité, qui peuvent varier avec x^ y^ z^ t. On formera d'abord trois équations du mouvement du fluide, au moyen du principe de d'Alembert, en observant que le fluide serait en équilibre si une molécule quelconque dm était sollicitée par la force ayant pour composantes

(X — «')^w,. [Y^v')dm, {Z^w')dm, . . d'où résultent les trois équations

Pour obtenir les expressions de u\ f', iv', il faut observer <jue M, K^i w doivent être diflerentiées en regardant a:, j^, z comme les fonctions de t. qui se rapportent au mouvement de la molécule dm^ et que, par conséquent, les accroissements de a:,y, r, correspondants à raccroissement dt du temps , ont pour valeurs

dx = ude , flr = vdt , dz z=. wdt.

2n2 eOURS DE MÉCANIQVR.

On aura , d'après cela ,

du du du du

dt dx dy dz

dv dif dv dp

dt dx dy dz

, d(v dw dw dw

dt dx dy dz

et les trois équations précédentes deviennent

i dp du du du ,

du ^ dx dt " dx ' dy dz

j l dp ^ dv dif dv dp

P ^X - dt dx dy dz

^ dz dt dx dy dz

Ces' trois équations ne suffisent pas pour la déterminatiou des cinq fonctions /!?, p, u, i^, w. Il en faut deux de plus, à moins que p ne soit constant, et, dans ce cas, il n'en resterait qu'une à trouver. Nous allons voir comment on peut trouver ces équations d'après la condition que le fluide reste continu.

176. Concevons que l'espace occupé par le fluide soit partagé en parallélipipèdes inflniment petits dx^ dy^ dz. Après le temps dt^ ils doivent se trouver encore remplis par le fluide , excepté peut-être ceux qui se trouveraient à la surface libre, et, par conséquent, Taccroissement de la densité dans chacun d'eux sera égal à l'accroissement de la masse qui y était renfermée , divisée par le volume. Ponr exprimer cette condition, il faut chercher l'excès delà masse de fluide qui est entrée dans un quelconque d'entre eux , sur la masse qui en est sortie pendant le temps dt.

Soient x, j', z {-fig* 12) les coordonnées du sommot M