DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE
de ce parallélipipède 5 x -\- dxj y -h dy^ z + dz celles du sommet opposé S; m, i^^ w les composantes de la vite^e du point situé en M après le temps f , et p la densité en ce point au même instant.
La direction de la vitesse variant d*une manière continue, s'il entre du fluide par une face, il en sortira par la face opposée, et si Ton calcule l'excès de la masse de la pretnière quantité sur la seconde pour les trois couples de faces parallèles, leur somme sera Taccroissement de la masse renfermée dans le parallélipipède.
Considérons d'abord la face MPQR et sa parallèle. Si p et u étaient constants dans Tétendue de chacune d'elles, la masse introduite par la première serait
^udydzdl ^
la masse sortie par la seconde serait -
I pa j \î-l dx dydzdty
et l'excès aurait pour expression
d (pu)
dx
dxdfdzdt.
Or, on peut admettre qu'il en est ainsi; car, si l'on considère deux points T, V pris respectivement dans les deux faces et situés sur une parallèle à l'axe des x, la diflerence des valeurs de pu en ces deux points ne surpasse la différence des valeurs de pu aux points M et N, que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, puisqu'il suffirait de remplacer dans cette dernière les coordonnées de M par celles de T pour obtenir les expressions de la première.
De même, l'excès de la quantité de masse entrée par les deux faces dxdz , dxdy sur celle qui est sortie par les faces II. ^ 18
parallèles , est exprimé respectivement par
^f-i doidrdzdt. ^f— ^ dxdydzdt,
dy dz
Divisant la somme des trois excès par le volame dxdjdz^ on connaîtra l'accroissement de 1^ densité du liquide contenu dans le parallélépipède, ou de la densité au point dont les coordonnées sont x^ y, z. Ce sera donc la différentielle partielle de la densité par rapport au temps, et Ton aura, par conséquent, l'équation
. , dp d,pu d.ûv d,ûw
Examinons maintenant de quelle manière elle doit être interprétée dans les différents cas que peuvent présenter les fluides.
177. S'il s'agit d'un liquide, c'est-à-dire d'un fluide incompressible, et que sa densité soit la même en tous les poii^ts, et indépendante du temps, Féquation (2) se réduit à
du dç dw
^ ^ dx dy dz '
Dans ce cas, il n'y a que quatre fonctions inconnues p, «, 1^, w, puisque p est donné. Les équations (i) et (3) suffisent dotic pour leur détermination.
178. Si l'on considère maintenant un liquide hétérogène, la densité de chaque molécule est invariable; mais p n'en est pas moins une fonction de a?, j^, z, t. Pour exprimer que cette fonction reste constante pour une même molécule , il faut chercher sa différentielle totale en exprimant que dx^ dj^ dz ont les valeurs correspondantes au mouvement de cette molécule, et l'égaler à zéro. Onob-
DEUXIKMR PAKTIR. — HYnRODtNAMIQlTK. î^!>
lient ainsi
^^^ dt dx dy . dz
ce qui réduit l'équation (2) à
du dv dw ^ '' dx dy dz
Dans ce cas, il y a cinq fonctions à déterminer, savoir, p, p, u , P», w, et un même nombre d équations (i) , (4) , (5)*
179. S'il s'agit d'un fluide compressible dont la température est constante^ on a entre p et p la relation
qui, jointe aux équations (i) et (2), détermine les cinq fonctions inconnues.
180. Conditions relatives à la surface. — Les équations que nous avons obtenues jusqu'ici is' appliquent à tous les points de l'intérieur du fluide 5 et s'il est indéfini, il ne reste à y joindre que les conditions relatives à l'état initial. Mais si le fluide est terminé, il existe des équations particulières pour les points qui se trouvent à sa surface. On suppose ordinairement que les points qui étaient d'abord en contact avec une paroi mobile ou immobile, y restent indéfiniment, et que les points qui appartenaient primitivement à la surfjace libre ne cessent jamais d'en faire partie. Ces hypothèses restreignent les déplacements \ et , malgré cela, il est encore bien peu de caç où les calculs puissent d'efiectuer cx)mplétement.
Soit F (jc, j^ z^ /) = o l'équation d'une surface sur laquelle im point du fluide doit constamment se trouver. Supposons que j pour une certaine valeur de t^ ses coordonnées y satisfassent, et que t croisse de dt\ ces coordon^
nées croîtront de
udt^ if fil, wfit,
et ces accroissements devront satisfaire à l'équation différentielle de la surface , quand on les substitue à dx^ dy^ dz , ce qui donne la condition
dt dx dy dz
d¥ Si la paroi est fixe , le terme — disparait. -
Cette équation devra avoir lieu pendant toute la durée du mouvement pour les points qui se trouvaient primitivement en contact avec la paroi dont il s'agit 5 et il en existera de semblables pour toutes les parties de la surface qui ne •ont pas libres.
181 . Les points de la surface libre sont soumis à raction d'une pression connue , qui est ordinairement la même en tous ces points, mais qui peut varier avec le temps. Si on la désigne par P, l'équation de cette surface sera
d'où l'on conclut la condition suivante, pour les points qui s'y trouvent :
dp dp dp dp dV
dt dx dy dz dt
Ces différentes équations relatives aux limites du fluide concourent, avec l'état initial , à la détermination des fonctions arbitraires introduites par l'intégration des équations diflijrenti elles partielles.
182. Lorsque m, p», w sont les dérivées partielles par rapport à jc , j*, z d'une fonction ^ de a: , j^, z , t ^ on peut réduire les équations (i) à une seule, et la solution de la
