DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

question est ramenée à la détermination de (p, puisqu'on en déduira //, i^, w par des diflerentiations.

En ne considérant que les variables x^ y^ z dans y, on aura , d'après l'hypothèse ,

udx -h i>djr -f- wdz ■= d(f.

Supposons, de plus, que X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction V, de sorte que l'on ait

Xda:-{-Ydx-hZdz = d\,

"Cela posé, les équations (i) peuvent s'écrire ainsi :

I dp dW d^ tf dtf d^tf drf d^<f d<f d^ ff p' cLc dx dxdt dx dx^ dy dxdy dz dx dz

•I dp dW d^ff d(f d^(f d(f d^(f drf d^tf

p djr dy dy dt dxdxdy dy dy'^ dz dy'dz

' i dp dS ■ d^(f d(f d^tf d<f rf'y d^d^rf p dz dz dz dt dx dx dz dy dy dz dz dz^ ^

Si l'on multiplierespéctivcmeniceséquationspar<i'ar, dy^dz^ et qu'on les ajoute, on obtient

<«) ¥— 4-J4(â)'-(J)'-(Sy}

toutes les différentielles étant prises par rapport kx^y^ z^ en considérant t comme constant.

Les deux "membres de cette équation pourront s'intégrer par rapport kx^y^ z toutes les fois que p sera une fonction connue de ;?, ou aura une valeur constante.

183. Dans ce dernier cas , qui est celui d'un liquide homogène, on obtient

^ - 'j - mh (^h i^)']'

il faudrait ajouter une fonction arbitraire du temps au second membre , mais on peut la regarder comme renfermée dans la fonction ^ , et il est inutile de Técrire.

L équation de continuité se réduit, dans ce cas, à

du dv dty

dx dy dz '

r/x? tfy' dz"

Cette équation fera connaître y en fonction de x^ y^ z\ et quand les fonctions arbitraires auront été déterminées , on connaîtra iz, Vy w par la différentiation de la fonction (p.

184. Dans le cas d'un fluide aériforme dont la température est constante , on a /? = /rjO , et le premier mem-

bre de l'équation (6) devient A —• On obtient donc, en intégrant ,

d*GÙ l'on peut tirer p en fonction de ^.

L'équation (2) peut se mettre sous la forme

dt dx dy dz ^

et, en y remettant la valeur de p tirée de ta précédente, on aura une équation qui déterminera ç et, par suite, u\ (^, w. Dans le cas où les mouvements des points du fluide seraient assez rapides pour que la température s'élevât et s'abaissât successivement en chaque point , la force élastique ne serait plus simplement proportionnelle a p, elle dépendrait de racçroissement de température, qui peut

DEUXliME PAATIE. — HYDRODYNAMIQUE. \

être regardé comme proportionnel à raccroissement de IV densité ; p dépendrait donc encore de p, et réciprocpiement. \ Le premier membre de Téquation (6) pourrait encore être \^ intégré , et l'on agirait comme dans le cas précédent.

18^. Si les fonctions u^ ^^ w sont les dérivées partielles d'une fonction de a:, y, z pour une valeur quelconque de f, il faut qu'elles le soient d'abord pour ^ = o; ce que l'on reconnaîtra facilement, puisque leurs valeurs initiales sont données en fonction de a:, y^ z. Or, Lagrange a fait voir que, quand ces conditions sont remplies à une certaine époque, elles le sont à un instant quelconque du mouve- * ment^ d'où il résulte que, si l'on reconnaît qu'elles- le sont dans Tétat initial, elles le seront indéfiniment, et les calculs précédents seront applicables.

Nous allons démontrer cette importante proposition.

Pour cela , nous partagerons le temps en intervalles infiniment petits, et nous calculerons de combien augmente l'expression udx -h i^dy -i-wdz dans un de ces intervalles, en déterminant les accroissements que prennent m, y^ w dans le même temps, d'après les équations générales du mouvement des fluides. Or, il est clair que si udx -h i^dy-i-wdz est à chaque instant la difiérentielle d'une fonction de x^ y, z^ il est nécessaire que la quantité dont elle augmente soit toujours elle-même une différentielle exacte 5 et réciproquement, si à une certaine époque cette expression est une difierentielle eitacte et que tous ses accroissements infiniment petits successifs soient eux-mêmes des différentielles exactes , il en sera de même de leur somme et , par conséquent, de l'expression udx -h i^dy -h'^'i^dz à une époque quelconque.

Soient donc i/i , t^i , ivj les valeurs de m , ^^ , w à une certaine époque pour laquelle t == if^ , et admettons que

l'on ait .

Ui dx + <^ (Ijr -\- w, dz ==: dtf^y

280 COU&$ DE MÉCAKIQUB.

g>, étant une fonction des trois variables indépendantes X, y y z. En considérant Uj i^^ w comme des fomctions de x.^ y^ z^t^ les valeurs qu'elles auront pour £=f| + 8 pourront être développées par rapport aux puissances de e, et si Ton suppose cet accroissement infiniment petit, on devra se borner aux deux premiers termes, et Ton aura

tt m w, -4- «' 6 , p = p, 4- p' 8 , w = (V, -H iv' e ,

u\ v\ w' étant des fonctions de a: , j^, ^ , qui seront les dérivées partielles de u, ^, -w par rapport à € et relatives à t = «1 .

On déduit de là •

Donc, si u^dx -h^^dy -^ w' dz est une différentielle exacte, il en sera de même de udx -f- i^dy -^wdzk l'époque pour laquelle i = f, 4-e. Or, les équations (i), considérées i Tépoque où 1 = 1^^ deviennent

p dx p dy

P dz dx dxdz dy dydz dz d7?

Multiplions ces équations respectivement par dx^ dy, dz^ et ajoutons-les. Le premier membre — sera une différentielle exacte, soit dans le cas des liquides homogènes , parce que p est alors constant \ soit dans le cas des gaz, parce que f est une fonction de p, la température étant supposée inva-

riable. On peut donc remplacer — par r/P, P étant une cer-

^fl

d'ffx

fl?(p, d^fi

dfi

dy dxdy

dxdz

dfsfx

d'fft

dffx d^ffi

dffi

rf'?.

dxdy

dy dy^

dydz

dfi

rf»(p,

d (fi <^'<pi

rf«p,