DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

taine fonction de a:, j, z ; et, en supposant d'ailleurs que les forces extérieures soient telles, que lLdx-+-Y dX'{-Zjdz soit la différentielle d'une certaine fonction V de x^ y^ Zy on obtiendra

d'où l'on tirera

u' dx -{- v' df -^ w' dz

Ainsi u' dx •+■ Vf' dy '\' w'dz est la différentielle d'une certaine fonction des trois variables indépendantes x,y jr^ z. Donc , si udx H- v^dy -\-wdz en est une , à une Certaine époque, elle le sera encore après que le mouvement du fluide se sera t)péré en vertu de toutes les actions et toutes les circonstances, pendant un temps infiniment petit. Partant de Tétat du fluide à cette nouvelle époque, comme de la précédente, on prouvera de même que udx -^ i^dy + wdz sera encore une différentielle exacte après un nouvel intervalle de temps inflnîmcnt petit, et ainsi de suite indéfiniment.

U suit de là que, si cette condition est remplie dans l'état initial , ce que l'on pourra toujours vérifier immédiatement, on peut être assuré qu'elle le sera à toute époque du mouvement. Si elle ne Tétait pas dans l'état initial, il est clair qu'elle ne pourrait l'être à toute époque.

Il est bon de remarquer que la condition dont il s'agit sera remplie toutes les fois que les vitesses seront nulles en tous les points dans l'état initial ^ car alors on a

udx -^ vdy -\- ivdz = o, ce qui est une différentielle exacte.