COURS DR MÉCANIQUE

186. Dans le mouvement très-simple d'un liquide qui tourne uniformément autour d^un axe fixe, sans que ses points changent de position relative, ùdx -\rudy + wdz n'est pas une dîfTérentielle exacte; car, en désignant para) la vitesse angulaire constante, et prenant Taxe de rotation pour axe des z , on aura

et, par suite,

udx 4- ffdjr -h wdz = ta {xdy — ydx) ,

«expression qui, n'est pas une différentielle exacte. Le cas dont )1 s'agit ne peut donc être traité par le procédé particulier que nous avons exposé, et il faut recourir aux équa-' tions générales. On a, dans ce cas,

da dv dw

rfr=°' *=°' •^=*'' ^ = °'

et les équations (i) deviennent

'-/ = X4-«'a;, - -il = Y 4- w'7> -:r- = Z, ^ dx ^ dy '^. p dz

d'où Ton déduit

dp '

-^^Xdx-hYdy -h Z dz -^. ta^ {x dx -\-jdy)^

équation qui ne diffère pas de celle que nous avons trouvée dans l'Hydrostatique, n^ 141.

Mouvement d un liquide dans une hypothèse parti-

culière,

187. Lorsqu'un liquide homogène, renfermé dans un vase, s'écoule par un orifice pratiqué dans la base hori-

DEUXIÈME i>A&Tl£. — HYDRODYNAMIQUE. 283

zdntale, et très-petit par rapport aux sections horizontales du vase, l'expérience montre que les molécules situées dans Tine même tranche horizontale, à un certain instant, y restent constamment, tant qu'elles ne sont pas très-voisines de l'orifice. On peut négliger les vitesses horizontales, lorsque les sections varient peu dans toute la hauteur du vase , et ont des dimensions très-petites par rapport à cette hauteur 5 il n'y a plus alors que deux inconnues, la vitesse verticale et la pression. Ces suppositions, connues sons le nom H hypothèse du parallélisme des tranches ^ sont celles que nous admettons dans la question que nous allons traiier. Prenons Taxe des x dans la direction de la pesanteur, nous aurons

et les équations (i) se réduisent, les deux dernières à.

dp dp

dy ' flfe = o,

ce qui indique- que la pression est la même pour tou$ I points d'une même tranche horizontale , et la premiècp

, . dp l du . du\

L'équation de continuité (3) ne saurait être employée dans le cas actuel, parce qu'elle renferme les dérivées de u, t', IV 5 et quoique j^ et îv soient très-petits par rapport à M , on ne peut dire que leurs dérivées puissent être négligées par rapport à celle de u. Mais on exprimera bien simplement la continuité, en égalant la quantité de liquide qui passe par une tranche quelconque à celle qui sort par l'orifice pendant un même temps infiniment petit. En effet, désignons par w l'aire de la section fait&dans le vase, à une distance x de l'origine 5 par 12 Taire de l'orifice , et par U la

284 OOU&S DE MECANIQUE

vitesse avec laquelle le liquide y passe ] les quantités de liquide qui passent par les sections co et îl pendant le même intervalle dt sont respectivement tùudt et IlU^t; d'où résulte la condition

6) U = ilU,

les valeurs de u et U se rapportant à la même valeur de f, U est une fonction de t seulement , co est une fonction de x donnée par la forme du vase , et u est une fonction de x et de ^. Si l'on y fait varier t seulement , on a les valeurs successives de la vitesse de différentes couches , au moment où elles viennent de passer par une même section. Si x seul varie dans u, on a les vitesses de différentes couchés au même instant, et si Ton y fait varier à la fois :r et ^ sans établir de dépendance entre eux , on a la vitesse de la tranche qui passe à cette autre époque par une autre section. Enfin, si Ton veut connaître la vitesse qu'aura, après le temps dt^ la tranche qui, pour une valeur donnée de tet de or, a une vitesse w, il faudra faire varier t àe dt^ et x de dx , en supposant dx == u dt.

Au moyen de l'équation (b) on peut éliminer u de l'équation (a) et y introduire U, qui offre de Tavantage, en ce qu'elle n'est fonction que d'une seule variable t.

On obtient ainsi

Multipliant les deux membres de cette équation par dx , et les intégrant par rapport à x, à partir de la surface supérieure, on obtient-

dV r^jp pa'U' ^