ÉLASTIQUES

i97. Lorsque tous les points d'un fluide n'ont que des mouvements extrêmement petits, leâ ëquations générales se simplifient beaucoup, et conduisent à quelques lois simples que nous allons exposer.

Nous supposerons que l'expression néx-î- vdy-^wdz soit à chaque instant la difTérentielle d'une fonctiqn f de x^ y^ z^ t^ prise seulement par rapport aux variables x^ y, z. Nous savons qu'il suffit pour cela que, dans Fétat initial, les composantes connues u, f^, tv de la vitesse d'un point quelconque soient les dérivées partielles , par rapport k 3ç^ y^ z^ d'une tïième fonction dé ces trois variables considérées comme indépendantes*, ce qui aura lieu en particulier si les vitesses initiales sont nulles. Nous devrons donc, dans les questions que nous allons étudier, faire usage de l'équation (6) du n^ (8â; et nous allons d'abord y opérer les simplifications qui résultent dé l'hypothèse que les mouvements restent très-petits.

Soient D la densité du gaz dans son état naturel d'équilibre, A celle du mercure, p^ la force élastique de ce gaz, h la hapteùr de mer^re qui la mesure, et g la gravité^ on aura ^

Désignons par p la densité variable du gaz, par y sa condensation positive ou négative, et par p sa force élastique ,

on aura

et, en supposant la température égale à celle de l'état initial,

Mais la condensation développe une certaine quantité de

3oO COURS DE MÉCANIQUB.

chaleur qui lui est proportionnelle, si elle est très-petite, comme nous le supposons. Cette chaleur n'a pas le temps de se répandre si les alternatives de dilatation et de condensation se succèdent rapidement, comme cela aura lieu dans les questions que nous examinerons ^ on doit donc la considérer comme ayant pour efiet d'élever la température des points où elle est dégagée d'une quantité de même, signe que la condensation, et proportionnelle à sa grandeur. Dans le cas où la chaleur aurait le temps de se dissiper dans le milieu, on n'en tiendrait pas compte dans le calcul. Si Ton représente par 0 le nombre positif ou négatif de degrés centésimaux dont s'élève la température primitive v du gaz, pour une condensation y; par c et c' les chaleurs spécifiques du gaz à pression constante et à volume constant, et par a le coefficient de dilatation de ce gaz, on démontre en physique que ces quantités ont entre elles la relation suivante :

on aura , de plus , la proportion

/?:/?o::D(H-7)[i + a(c-4-Ô)]:D(i -4-ap),

d'où Ton tire , en remplaçant po p^i^^ et négligeant les puissances de a supérieures à la première , et le produit des quantités très-petites y, ô,

ou, en remplaçant a 6 par sa valeur en fonction de y,

d'où

dp ghcà é/y p De' H-7

DEUXIEME PAUTIB. — HYDRODYNAMIQUE. 30I

L'équation (6) donne ainsi

'#M.-,)=-ij-i[(S)v(^)v(^y]..

Or, en supposant que les condensations et vitesses initiales soient des quantités extrêmement petites du même ordre, et qu'il en soit de même à une époque quelconque,

on pourra négliger les carrés des composantes ^7 7^' w

par rapport à / (i -+- y)? qui peut être remplacé par y, et la dernière équation se réduit à

ghc A d(f

ghe^ ,

ou, en posant ^r-7- = ar^

L'équatîon de continuité

dp d,pu d,pp d,^w dt dx dy dz

devient d'abord

dt dx dy dz

pu, en négligeant les termes très-petits par rapport à ceux qui subsistent dans l'équation,

. . d'i d^ ff d^(D d* o

^ ' dt dx^^ dy^^ dt^

Les équations (i) et (2) déterminent y^et 9. Si l'on élimine entre elles 7, on obtient

^'? , là''^ ri'9 dU\

302 COUBS DE MECANIQUE.

On est donc ramené à Tintëgration d'une équation différentielle partielle du second ordre, linéaire et à coefficients constants. Les fonctions arbitraires se détermineront par

les Taleurs initiales de f et ^9 et il n'y aura pas d'antres

conditions si le fluide est indéfini dans tous les sens. Dans le cas contraire, il 7 a, comme nous le savons, des équations particulières aux limites, qui aiigmeiitent beaucoup les difficultés du calcul.

La valeur initiale de -^ est connue par celle de y <{iii

est une donnée nécessaire. Quant à celle de 9, elle résulte des valeurs initiales des composantes de la vitesse,

-~> T^j -~? qui sont nécessaireiùent données. Ces trois dx dy dz *-

fonctions de x, ^, z déterminent, à une constante près, la fonction (p ^ et comme cette constante ne peut avoir aucune influence sur les quantités chercbées, qui s^obtiennent toutes par la diflerentiation de la fonction f , on n'en doit tenir aucun compte, et l'on peut considérer la fonction générale y comme connue lorsqu'on y fait f = o.

Le problème de mécanique est donc ramené à une question de calcul intégral dont les données sont complètes. Nous nous bornerons à la traiter dans quelques cas particuliers.

198. Superposition des effets. — Si dans ce fluide, supposé indéfini dans tous les sens, on conçoit divers états initiaux et les mouvements partiels qui leur correspondraient, et satisferaient à Féquatiou (3), il est -facile de reconnaître que, si l'on considère un nouvel état initial résultant de la composition des premiers, le mouvement correspondant pourra être ol)tenu à une époque quelconque par la composition des mouvements partiels relatifs à la même époque^ cette composition étant entendue dans