DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 3o

le sens ordinaire pour les vitesses , et consistant dans une addition algébrique pour les condensations. En effet , soient ?i 9 9f 9 ?S9 etc., les valeurs de (f correspondantes aux mouyements partiels, et qui ^satisfont séparément à Téqualipn {3)5 posons

La fonction (f satisfera elle*-mème à l'équation (3), et représentera , par conséquent , un mouvement particulier du fluide. Sa dérivée par rapport à t sera la somme de celles des fonctions 91 , 91 , etc. En les considérant toutes pour la valeur t = o , on en conclura d'abord que la condensation initiale du fluide dans le mouvement représenté par 9 est la somme des condensations initiales relatives aux divers mouvements partiels; et, de plus, les dérivées de (f par rapport k Xy y^z seront les sommes de celles des fonctions ?t 9 ?> 9 78 9 etc. ; et si l'on y fait l^ = o , on en conclut que dans le mouvement représenté par 7 , les vitesses initiales de chaque molécule s'obtiennent en composant 'celles qui se rapportent à la même molécule dans les états initiaux partiels. Donc Tétat initial du fluide dans le mouvement représenté par (f est identique pour les condensations et pour les vitesses à celui que nous nous proposions de déterminer; ces deux mouvements sont donc identiques à une époque quelconque. $i maintenant, au lieu de faire t = o dans les

fonctions -r^? -t^j -7^» -r» on attribue à cette variable dt dx dy dz

une valeur quelconque , ces fonctions seront toujours les

sonmics de celles qui correspondent à fi ? fs 9 fs 9 etc. Donc

enfin les condensations et les composantes de la vitesse dans

le mouvement cherché seront à chaque instant les sommes

algébriques de celles que l'on observerait à la même époque,

et respectivement aux mêmes points , dans les mouvement»

déterminés par les états initiaux partiels.

3o4 COUAS DE MECANIQUE.

Mouvement d'un gaz dans un tujrau cjrlindrique indéfini

199. Supposons un cylindre creux indéfini , dont la section orthogonale soit une courbe quelconque , et qui soit rempli d'un gaz homogène , par exemple d*air atmosphérique. Dans une étendue quelconque de ce tuyau, on a déplacé les molécules de telle sorte que celles qui étaient dans une même section orthogonale y soient restées , et se soient mues parallèlement aux arêtes du cylindre; puis on a imprimé à toutes ces molécules des yitesses parallèles à ces arêtes et égales pour celles qui sont dans une même section : et ensuite on a abandonné le fluide à lui-même, sans introduire aucune force extérieure! 11 s'agit de. déterminer toutes les circonstances du mouvement qui en résultera.

Nous remarquerons d'abord que le mouvement de toutes les moléculeà situées dans une même section sera le même, et, de plus, parallèle aux arêtes du cylindre. Si donc on prend cette direction pour celle de l'axe dés x , la condensation y et la vitesse w ou -j^ ne dépendront que de x et f.

Les équations du problème seront donc

I rf«p

et si Ton suppose que les vitesses initiales soient exprimées par la fonction ^ (a:) , et les condensations initiales par ;^ (a:), on devra avoir

(^^ '^^^^'^^' 7^= — «'XW» pour f = o. L'intégrale de l'équation (i) est

(3) ? = F,(ar4-rïO+y;(a?— /lO,

DLUXIKMK PARTIE. HYDRODYNAMIQUE. 3o3

Fi-ètyi désignant des fonctions arbitraires, dont nous représenterons les fonctions dérivées par F et f. Les équations (2) donneront, pottr. déterminer ces fonctions, leâ deux conditions suivantes :

d'où Ton tire

Si maintenant on diiférentie Téquatiou (3) par rapporta x et à f, on trouvera, d'après les valeurs qui viennent d'être déterminées pour les fonctions/* et F,

\(;(a:-f- at) — ûxl*^ -¥ at) ^{x — at) -^ a'^i-^ — nt)

il r= f- — — .-- , ,

-^ {x — at) 4- ^xi^ •" ^^) ^^ (^ "+■ ^0 — ^ X (^ + ^^!

Mais, pour plus de simplicité, nous conserverons les fonctions F et y, et nous aurons les formules suivantes :

(4) u = ¥{x-hat) ^/(x — at),

(5) ay = --F(x^'at)'^/{x — at).

Les fonctions ^ et ^ étant données pour toutes les valeurs de la variable entre — oo et -4- 00 , on connaîtra w et y pour des valeurs qiielconques de a: et /.

Si Ton veut connaître le mouvement des molécules comprises dans une section particulière, qui dans Tétat initial correspondait à Tabscisse a, il faudra, dans Féquation (4),

fiX

remplacera par —y et intégrer celle que l'on obtient par

là entre x et t. On connaîtra ainsi, en fonction du temps,

Fabscisse des molécules en question. La constante que celte