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intégration introduira sera dëtermiiidc|||^ar la condition que pour f = o on ait jc = a. U sérjsninutile de s'occuper de la vitesse initiale, puisque la valeur générale de u satisfait à la condition des vitesses initiales pour tous les points du fluide.

200. Examinons le cas particulier où Fébranlement initial est limité , et s'étend par exemple depuis x = o jusqu'à X = ly ou depuis l'origine A jusqu'en B {fig> i3).

Alors les fonctions données par ^ et x^^m nulles pour toute valeur de la variable, plus petite que o ou plus grande que/*, et il en est de même, par conséquent, des fonctions F,/. Nous partagerons cette discussion en trois parties , corres- • pondantes aux trois régions dans lesquelles Tébranlement initial divise l'axe des x.

i^i Considérons d'abord un point quelconque M en dehors de AB et du côté des x positifs, c'est-à-dire pour lequel on a jc ]> /^ et supposons t^OyCe qui veut dire que nous considérons les époques postérieures à celle qui est prise pour origine des temps.

Dans ce ca3 , on a

et , par conséquent ,

F(ar + fl^) = o, f [x -{- at) := o.

Les formules (4) et (5) se réduisent donc aux termes où entre x — af , et l'on a

(6) \ u==/i,r^nt)y

{ ay =/(.r ^at),

d'où résidle, entre la vitesse et la condensation , la relation remarquable

u = ay.

bEtJXlÈMR PAHTtB. — HYDRODYNAMIQUE. 3oy

Mais , pour que ces valeurs de u et y ne soient pas nulles, il faut que Ton ait

.r — nt <^ l et x — «/ ^ o ,

Ainsi , le point M reste en repos jusqu'à l'époque pour laquelle on a

il est en mouvement jusqu'à celle où l'on a

x AM a a

puis il retombe au repos et y reste indéfiniment. Le mouvement se propage donc dans le sens BX avec une vitesse égale à a, et subsiste en chaque point pendant un temps

égal à - ; de sorte que la partie ébranlée a une longueur / et

semble se mouvoir avec la vitesse a en présentant constamment le même aspect, puisque la variable x — atj a. toutes les valeurs comprises entre o et /. Mais ce mouvement n*est qu'une simple apparence 5 cette onde est composée de molécules qui se remplacent à chaque instant, et Ton peut dire que c'est la figure géométrique qui se meut avec la vitesse a, et non les molécules de fluides qui y sont comprises.

2**. Considérons n>ain tenant un point M' pour lequel on ait x<Co^elk plus forte raison x — at<^o. On aura alors

et les formules (4) et (5) se réduisent aux termes où entre

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