X -h at ] on a ainsi

Ou a eucore, au sîguc près, le même rapport constant

eatre la vitesse et la condensation *, il est exprimé par 1 e-

quation

On reconnaît facilement que les valeurs de li et y ne seront diiTérentes de zéro que si l'on a

d*où

ou encore

^ AM' ^BM' r> , r< :

il résulte de là , comme on devait s*y attendre , que le mouvement se propage dans la partie AX' comme dans la partie BX, avec une vitesse a \ que tout pofnt se meut pendant

le temps -? et que la partie ébranlée ou l'onde a une longueur /, est toujours constituée de la même manière et se déplace uniformément avec la vitesse a dans le sens des x négatifs.

3^. Considérons, en dernier lieu, un point M" entre A et 6, on aura

de sorte que x — at qX.x-\- at resteront pendant un certain temps compris Fun et l'autre entre o et /, et tous les termes des formules (4) et (5) subsisteront. Mais x -^ al deviendra > / après l'instant pour lequel on aura

DEUXILME PARTIE. — HYDAODYl>ïAMlQU£. 3oQ

et , depuis ce raomenl, les fonctions de x -h al seront nulles. De même, x — at deviendra négatif après Tépoque pour laquelle on aura

al = AM^

Ainsi, on considérera les termes en x -{-at qui se rapportent à Tonde qui marche vers les x négatifs , jusqu'à ce qut» le point B soit arrivé en M" en se mouvant avec la vitesse a ; on «considérera les termes en x — o^ qui se rapportent s^ l'.onde qui marche vers les x positifs^ jusqu'à ce que le point A, se mouvant avec la vitesse a , soit arrivé en M". Et par conséquent, si l'on considère les deux parties qui composent les formules (4) et (5) comme exprimant resr pectivement les vitesses et les condensations dans deux ondes distinctes, et que l'on suppose que chacune de ces ondes se déplace avec une vitesse a , l'une dans un sens , et l'autre dans l'autre, en conservant toujours la même contitution, on aura, à un instant quelconque , l'état du fluide, en plaçant ces deux ondes dans la position où leur mouvement les aura amenées à cette époque, et superposant les conden^tions et les vitesses dans les parties où elles se pénétreront si elles ne sont pas encore entièrement séparées.

On aurait les états antérieurs à l'époque prise pour origine des temps, en faisant marcher respectivement en sens contraire ces mêmes ondes, avec la vitesse a j pendant un temps égal à l'intervalle qui sépare l'époque en question de l'origine des temps. ,

201. Nous venons de voir qu'un ébranlement initial d'une longueur finie donnait naissance à deux ondes de même longueur, animées de vitesses égales et de sens contraire. Mais il est possible que l'une de ces ondes n'existe pas. La première par exemple , qui correspond aux for- Ai]i;les (6), disparaîtrait 31 l'on avait pour toutes les valeurs

3lO COUBS DE HÉCAiriQUE.

de z comprises entre o et Z,

Il n'existerait alors que l'onde qui correspond aux formules (7). Et de même celle-rci n'existerait pas , et la première subsisterait seule, si l'on avait

Ainsi , pour qu'il n'y ait qu'une seule onde , il est nécessaire et suffisant que le rapport det{;(5î)àx(2) soit + a ou — a ; ou, en d'autres termes, que dans l'état initial le rapport de la vitesse à la condensation en un point quelconque de la partie ébranlée soit -f- « ou — a.

Mouvement dun gaz dans un tuyau limité dans un sens.

202. Nous venons de voir quelle est la loi du mouvement dans un tuyau indéfini dans les deux sens. Examinons maintenant la modification qu elle subit lorsque le tuyau est limité dans un sens et terminé par un. plan fixe, ou en communication avec un immense réservoir de gaz soumis à une pression constante, par exemple ayec l'amosphère. Nous discuterons séparément ces deux cas.

I**. Cas d'un tuyau fermé, — Supposons d'abord le tuyau terminé par un plan fixe, et comptons les x positifs à partir de ce plan, et dans le sens du tuyau.

Nous avons admis généralement que les molécules primitivement en contact avec une paroi y restent constamment appliquées. Ainsi , dans le cas actuel , la section correspondante k x= o aura une vitesse nulle à chaque instant 5 c'est-à-dire que l'on aura

(i) -yi = D pour a:=:o,

ctx

quel que soit f. Cette nouvelle condition devra cire jointe

DI^UXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 3ll

ik celles qui résultent de l'état initial du gaz qui est donné dans toute l'étendue du tuyau, c'est-à-dire pour toutes les valeurs positives de x. Nous représenterons toujours pari|;(x) et x(^) la vitesse let la condensation initiales; ces fonctions ne seront données que pour les valeurs positives delà variable, et sont entièrement arbitraires pour ses valeurs négatives. C^est cette indétermination qui permettra de satisfaire ^ la condition relative à l'extrémité; car nous avons vu que, lorsque ces fonctions sont données pour toutes les valeurs de la variable., la valeur de (f est complètement déterminée , et on. ne peut plus Tassujeltir à aucune condition particulière.

La valeur générale de (p qui satisfait à Féqu^tion dififéreQ» tielle sera toujours

La condition (1) conduit à Téquation suivante :

et comme elle doit avoir lieu quel que soit f, en grandeur et en signe, si l'on remplace at par z, on devra avoir, quel que soit z ,

Au moyen de cette équation, les fonctions F eifj qui sont données pour les valeurs positives de la variable, seront connues pour ses valeurs négatives. En eflel , en supposant z positif, on en tirera

ce qui fait connaître /* pour toutes les valeurs négatives de la variable.

Et si Ton change z eu — z dans l'équation (3) et que Ton suppose encore z positif, on trouvera

3l2 COURS DE MÉGAIflQUK.

équation qui fera connaître F pour toutes les valeurs négar lîves de la variable.

Ces conditions peuvent se représenter géométriquement d'une manière très-simple. Si l'on conçoit, dans toute i'cr tendue de Taxe des x^ les courbes ayant pour équations

le lieu géométrique composé de la partie de Tune quelconque des deux qui est située du côté des x positifs , et de la partie de l'autre qui est située du côté des x n^atifs , a pour centre l'origine. Et, du reste, les branches de l'une et de l'autre, situées du côté des x positifs, sont déterminées, comme nous Favons déjà vu, par les fonctions ^ ^^ X qui sont données dans chaque cas particulier.

Cette construction , qui n'est que la représentation de& conditions analytiques, pourra toujours les remplacer, et facilitera quelquefois les discussions.

On voit ainsi comment la condition (i) , qui exprime Timmobilité d^une tranche du gaz , conduit à la connaissance complète des fonctions F et y*, et par conséquent à la solution de la question proposée.

La valeur de -^ ou de la vitesse u, et la condensation y,

pu ; ~3 seront exprimées de la mfanière suivante,

d'après l'équation {2) ;

(4) ■ uz=Y{x-^at) -f-/(x— at),

(5) «7= — Y{x'^at)-\-f{x — at).

Ces formules conduisent d'abord à cette conséquence remarquable, qu'à une époque quelconque, en deux poinls situés de part et d'autre du plan fixe et à égale dista^ce, la vitesse est la même au signe près, et la condensation est la