DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE. 3l

même. En effet, si dans u on change x en -^.x et qu'on désigne par Mj sa nouvelle valeur, on a

//, =: F(— jF-hrt/) H-/(— X— fl/)=: — /(x — at) — F(i-f-ar)=— w,

et de même, en changeant j: en — x dans a y, on trouye

rt 7 , = F (— 07 -H û^ ) H-/( —^ — at) =f\x^at ) — F {x-^-at ) = a y .

Cette propriété , qui subsiste quel que soit t , existe pour ï = o , c'est-à-dire dans l'état initial, et nous insisterons particulièrement ici sur la manière dont on exprime dans le calcul les conditions relatives aux limites des systèmes. L'équation différentielle partielle serait satisfaite dans le mouvement du gaz homogène qui serait renfermé dans le tuyau prolongé indéfiniment. Or, on peut disposer arbitrairement de l'état initial de tout l'espace dans lequel on a prolongé le système 5 et toute la difficulté est de trouver comment il faut le choisir pour qu'en abandonnant ensuite le sytème total à lui-même, sans tenir compte des conditions physiques qui existaient aux limites , ces conditions se trouvent remplies d'elles-mêmes à chaque instant. Si l'on peut y parvenir, la question du système limité rentre dans la question , toujours plus facile , du système indéfini dans lequel l'étal initial est connu.

Dans le cas actuel , il est facile de prévoir ce que le calcul nous a annoncé relativement à l'état initial qu'il fallait donner au fluide dans le prolongement du tube du côté des X négatifs. En effet, en donnant aux molécules situées dans des sections équidistantes de l'origine, des vitesses égales et de signes contraires, et y supposant des condensations identiques , tout est symétrique par rapport à l'origine, et, en supprimant le plan fixe , les molécules qui le remplaceront, étant à chaque instant sollicitées par des forces égalcvS et contraires , resteront perpétuellement en repos.

3l4 COURS DE MÉCANIQUE. '

203. Examinons en particulier le <;as on rébranlement initial ne s'étend qu'entre les abscisses d et d-^L Alors les fonctions F et y sont nulles pour toutes les valeurs positives de la variable, qui ne sont pas comprises entre det d-^l^ et, d'après Téquation (3)-, pour toutes les valeurs négatives non comprises entre — d et — d — /. C'est ce que représente IsLjfig. i4v^^^^ laquelle

AB = AB' = rf, et BC =: B'C = /.

La partie BC de l'ébranlement va donner naissance à deux ondes animées, l'une, de la vitesse •+• a, rautre,de la vitesse — a. La partie B'C donnera naissance à deux ondes qui seront constamment symétriques des deux autres par rapport au point A. Lorsqu'elles seront arrivées Tune et l'autre en A , elles continueront leur marche et se pénétreront eti se superposant*, d'après le principe démontré généralement.

D'où l'on voit que l'effet dans le tuyau fermé AX est le même que si Tonde qui marche de BC vers le plan fixe A, en arrivant à ce plan, se repliait sur elle-même, de telle sorte que ses diverses parties , conservant la même condensation et la même vitesse en sens contraire, se superposassent toujours avec les parties correspondantes à la même abscisse et qui marchent encore vers le plan fixe. Et lorçque la seconde extrémité de l'onde partie de BC est arrivée en A, l'onde entière se trouve tournée en sens inverse, et marche indéfiniment du côté des x positifs. C'est en cela que consiste la réflexion d'une onde plane contre un plan qui lui est parallèle. Cet effet se produit, quelle que soit la longueur de la partie ébranlée BC^ elle peut s'étendre indéfiniment depuis le plan A jusqu'à x = oc -^ elle peut avoir une longueur infiniment petite. Et si l'on trouve avantageux, dans certains cas, de partager l'ébranlement çn portions infiniment petites, il suffira toujours de super-