DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 3l

poser les effets correspondants à chacun de ces éléments, après un temps quelconque, pour avoir l'effet qui correspondrait à Fébranlement proposé, après ce même temps.

2^. Cas du Utyau ouuert. — Supposons maintenant que le tuyau soit ouvert en A et en communication avec un réservoir de gaz , indéfini en tous sens , comme par exemple Tatmosphère ; nous avons admis- généralement que la pression qui a lieu à la surface de communication est toujours la même que celle qui a lieu dans le réservoir, et que nous supposerons constante. C'est cette pression qu'on observerait dans le gaz du tuyau en équilibre 5 et y exprime l'augmentation de la densité., à partir de celle qui correspond à cet état d'équilibre.

Cela posé , on aura , pour tous les points du tuyau ,

df dx"

et

(2) — ï- =r G pour x=^o, quel qiie soit f.

Nous représenterons eiicore par ^(x)^ X {^) '^ vitesse et ]a condensation initiales. Ce sont des fonctions données entre a: == o, x = go , et complètement arbitraires entre X = Of X = —-00 . C'est encore cette indétermination qui permettra de satisfaire à la condition relative à l'extrémité. L'intégrale générale de l'équation (1) est encore

«p = F, (x + at) -f-/, (x — é/r),

et la condition (2) conduit à l'équation suivante, dans laquelle z est tout à fait indéterminé en grandeur et en signe, et F, f sont encore les dérivées des fonctions Fi , /i ,

De sorte que si l'on considère les courbes ayant pour équations

3l6 cou AS DE MÉGANIQUE

le lica géométrique composé de la partie de l'une quelconque des deux qui est située du côté des x positifs , ei de la partie de Fautre située du c.ôté des x négatifs , sera symétrique par rapport à Taxe des y. Ainsi , au moyen de Téquation (3), les fonctions F,/*, qui n'étaient données, d'après ^ et ^, que pour les valeurs positives de la variable, sont déterminées pour ses valeurs négatives. Et Ton peut encore remarquer, dans ce cas comme dans le précédent, que la question est la même que si l'on supposait le tuyau indéfiniment prolongé vers les x négatifs , pourvu qu'on donnât au gaz, dans ce prolongement, un état initial représenté par les valeurs de F et / que nous venons de déterminer pour les valeurs négatives de la variable.

Les valeurs de u et y seront représentées par les formules suivantes :

(4) uz=zY[x-\' at)-^f{x — at)y

(5) «7 r= — F (a; 4- at)-^f[x — at).

Si Ton change x en — x dans les équations (4) et (5), on trouve, en ayant égard à réqualîoii (3) et représentant par 71 j , yi les nouvelles valeurs de u et y,

«,=:F(— jrH-tf/) -^ /(-- X r- at)= f [x — at) -^Y (x -{^ iu)-:=i H ,

/ï7,= — F(— x-f- fl^) -h/(— J? — at) = — f(x — at)